Norma (matematika): Porovnání verzí
opraven překlep |
m r2.7.2) (Robot: Přidávám is:Staðall (stærðfræði) |
||
Řádek 78: | Řádek 78: | ||
[[he:נורמה (אנליזה)]] |
[[he:נורמה (אנליזה)]] |
||
[[hu:Norma (matematika)]] |
[[hu:Norma (matematika)]] |
||
[[is:Staðall (stærðfræði)]] |
|||
[[it:Norma (matematica)]] |
[[it:Norma (matematica)]] |
||
[[ja:ノルム]] |
[[ja:ノルム]] |
Verze z 12. 6. 2012, 08:30
Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.
Definice
Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je
- pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V;
- subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.
Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.
Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:
- p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.
Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.
Příklady
- Každá norma je seminorma.
- Absolutní hodnota je norma na reálných číslech.
- Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.
Eukleidovská norma
Na prostoru lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x1, x2, ..., xn) jako
Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).
p-norma
Nechť p ≥ 1 je reálné číslo.
- Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph“): {\displaystyle \|{\emph {\textbf {x}}}\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}
Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).
Maximová norma
- Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph“): {\displaystyle \|{\emph {\textbf {x}}}\|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).}
Norma na prostoru se skalárním součinem
Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu
Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost
Vlastnosti
Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).
Normy ||•||α and ||•||β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že
pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||1, ||•||2 a ||•||∞ jsou ekvivalentní na prostoru :
Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.
Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny
Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.
Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μC známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná
Pro tuto seminormu platí