Viètovy vzorce: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace značka: editace z Vizuálního editoru |
m {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
'''Viètovy vzorce''', pojmenované po [[François Viète|Françoisi Viètovi]], jsou obecným návodem, který umožňuje hledání kořenů [[polynom |
'''Viètovy vzorce''', pojmenované po [[François Viète|Françoisi Viètovi]], jsou obecným návodem, který umožňuje hledání kořenů [[polynom]]ů. |
||
==Obecný zápis== |
== Obecný zápis == |
||
Každý polynom n-tého stupně (pro ''n''≥1) |
Každý polynom n-tého stupně (pro ''n''≥1) <math>p(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, </math> s koeficienty <math>a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1,a_0</math> náležejícími <math> \mathbb{R}</math> či <math> \mathbb{C} </math>, kde ''a''<sub>n</sub>≠ 0, má dle [[základní věta algebry|základní věty algebry]] nejvýše ''n'' komplexních kořenů ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>. Viètovy vzorce potom předepisují ''n'' rovnic, které vedou k nalezení ''n'' kořenů: |
||
:<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ |
:<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ |
||
Řádek 10: | Řádek 10: | ||
:Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů. |
:Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů. |
||
==Příklad== |
== Příklad == |
||
Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání [[diskriminant |
Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání [[diskriminant]]u, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců. |
||
:Mějme polynom: <math>p(x)=ax^2 + bx + c</math>, s kořeny <math>x_{1}, x_{2}</math>, kde <math>p(x)=0</math>. Potom můžeme psát: |
:Mějme polynom: <math>p(x)=ax^2 + bx + c</math>, s kořeny <math>x_{1}, x_{2}</math>, kde <math>p(x)=0</math>. Potom můžeme psát: |
||
:<math> x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}</math> |
:<math> x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}</math> |
||
Řádek 22: | Řádek 22: | ||
== Reference == |
== Reference == |
||
{{Překlad|en|Viète's formulas|324190822}} |
{{Překlad|en|Viète's formulas|324190822}} |
||
{{Autoritní data}} |
|||
{{Portály|Matematika}} |
{{Portály|Matematika}} |
||
[[Kategorie:Algebra]] |
[[Kategorie:Algebra]] |
Verze z 9. 8. 2021, 19:20
Viètovy vzorce, pojmenované po Françoisi Viètovi, jsou obecným návodem, který umožňuje hledání kořenů polynomů.
Obecný zápis
Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1) s koeficienty náležejícími či , kde an≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x1, x2, ..., xn. Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k nalezení n kořenů:
- Výrazy vlevo jsou tzv. elementární symetrické polynomy n proměnných (prvního až n-tého stupně). Tato soustava rovnic však zpravidla nemá jednodušší řešení než původní rovnice.
- Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů.
Příklad
Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.
- Mějme polynom: , s kořeny , kde . Potom můžeme psát:
- Pro racionální koeficienty lze někdy pomocí těchto vzorců kořeny uhádnout.
Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát následující.
- Mějme polynom: , s kořeny , kde . Potom:
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Viète's formulas na anglické Wikipedii.