Nilradikál okruhu

Nilradikál je pojem z oboru komutativní algebry. Jedná se o ideál v komutativním okruhu složený ze všech nilpotentních prvků. Alternativně může být definován jako radikál nulového ideálu. Odtud plyne značení ${\sqrt {(0)}}$.

Vlastnosti

• Nilradikál je ideálem, protože máme-li prvky $a,x,y\in R$ takové, že $x^{n}=0$ a $y^{m}=0$, pak i $(x+y)^{m+n-1}=0$ a $(ax)^{n}=0$.
• Nilradikál je roven průniku všech prvoideálů, což lze dokázat pomocí principu maximality.
• Okruh je složený ze samých nilpotentních prvků a jednotek právě tehdy, když je faktorokruh podle nilradikálu komutativním tělesem.

Příklady

• V okruhu modulární aritmetiky $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ je nilradikál tvořen prvky ${0,2,4,6}$.
• V okruhu $\mathbb {Z} /36\mathbb {Z}$ jsou dva prvoideály, totiž hlavní ideály $(2)$ a $(3)$. Jejich průnikem je ideál $(6)={0,6,12,18,24,30}$, který je nilradikálem, ale není prvoideálem.
• V okruhu mnohočlenů s proměnnými $X_{1},\dots ,X_{n}$ nad okruhem $R$ je nilradikál tvořen těmi mnohočleny, které mají všechny koeficienty nilpotentní.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Nilradykał na polské Wikipedii.