Prvoideál (teorie okruhů)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Prvoideálem v okruhu R je každý takový vlastní ideál \mathfrak{p}\subseteq R, že pro libovolné dva ideály \mathfrak{a},\mathfrak{b}\subseteq R splňující \mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p} (tedy jejichž součin je podmnožinou \mathfrak{p}) platí buď \mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{p} nebo \mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{p}.

Jedná se o analogii prvočísel, u kterých lze obdobně vyslovit: Přirozené číslo p je prvočíslem právě tehdy, pokud pro jakákoliv dvě přirozená čísla a,b platí, že pokud p dělí ab, pak buď p dělí a nebo p dělí b.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Ideál n\mathbb{Z} je prvoideálem pravě když je n prvočíslo
  • V okruhu \mathbb{Z}[X] všech polynomů s koeficienty z celých čísel je prvoideálem například ideál generovaný prvky 2 a X (jedná se o ideál tvořený všemi polynomy, které mají konstantní koeficient sudý).
  • Každý maximální ideál je prvoideálem

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prime ideal na anglické Wikipedii.