Maximální ideál (teorie okruhů)

Maximální ideál je v algebře takový ideál, který je v daném okruhu mezi vlastními ideály maximální vzhledem k inkluzi. Jinými slovy, I je maximální ideál okruhu R, pokud I je vlastní ideál a pro každý ideál J⊇I platí, že buď J = I, nebo J=R.

Vlastnosti

• V komutativních okruzích s jednotkovým prvkem je každý maximální ideál prvoideálem.
• V komutativních okruzích s jednotkovým prvkem je faktorokruh podle ideálu tělesem právě tehdy, je-li tento ideál maximální
• V každém případě je faktorokruh podle maximálního ideálu jednoduchý okruh.
• Každý okruh s jednotkovým prvkem obsahuje maximální ideál (Krullova věta)

Příklady

• Jednoduchým příkladem maximálních ideálů jsou hlavní ideály v celých číslech generované prvočíslem

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Maximal ideal na anglické Wikipedii.