Přeskočit na obsah

Kubická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Graf kubické funkce

Kubická rovnice (z lat. cubuskrychle) je algebraická rovnice třetího stupně. Její základní tvar vypadá následovně:

,

kde .

Jednotlivé členy mají tato označení:
je kubický člen, je kvadratický člen, je lineární člen a je absolutní člen.

Koeficient a musí být různý od nuly, jinak by se jednalo o funkci nižšího řádu. a, b, c a d jsou reálná čísla.

Diskriminant

[editovat | editovat zdroj]

Diskriminant vypočítáme podle vztahu Mohou nastat tři případy:

  • D = 0, rovnice má buď jeden trojnásobný reálný kořen nebo jeden dvojnásobný a jeden jednoduchý reálný kořen
  • D > 0, rovnice má tři reálné kořeny
  • D < 0, rovnice má jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny

Řešení rovnice

[editovat | editovat zdroj]

Obecné řešení kubické rovnice se dá najít buď pomocí Cardanových vzorců, anebo dvojí substitucí podle Thomase Harriota. Harriotova metoda je následující:

Rovnici nejprve vydělíme koeficientem u třetí mocniny, čímž ji převedeme na tvar

Substitucí odstraníme kvadratický člen, a tím dostaneme rovnici typu

Tuto rovnici dále převedeme na kvadratickou rovnici substitucí a vynásobením obou stran . Po úpravách dostaneme rovnici

,

což je kvadratická rovnice vůči . Po nalezení zpětně dosadíme do substitučních rovnic, až dojdeme k původnímu . Podrobnější postup je popsán v článku Cardanovy vzorce, jelikož tato kvadratická rovnice se tam vyskytuje rovněž, i když se k ní dospěje jiným způsobem.

Některé druhy kubické rovnice se dají řešit i jednodušeji než Harriotovou substitucí nebo Cardanovými vzorci.

Kubická rovnice bez absolutního členu

[editovat | editovat zdroj]

U těchto rovnic je koeficient d roven nule. Rovnice se tedy dá vytknutím snadno převést na kvadratickou. Jedním z řešení je vždy číslo 0.



Dále řešíme kvadratickou rovnici , jejími kořeny jsou čísla 2 a 3.
Kubická rovnice má tedy kořeny:

Reciproká rovnice

[editovat | editovat zdroj]

Jestliže koeficienty pak se jedná o kladně reciprokou rovnici. Jejím kořenem je vždy číslo -1. Rovnici tedy vydělíme výrazem , získáme kvadratickou rovnici a jejím vyřešením zbývající dva kořeny. Jestliže pak rovnice je záporně reciproká a jejím kořenem je číslo 1. Vydělíme ji tedy výrazem



Kořeny jsou následující:

Kubická rovnice s celočíselným kořenem

[editovat | editovat zdroj]

Taková rovnice se řeší podobně jako reciproká, ale kořenem může být i jiné číslo než 1 nebo -1

Kubická rovnice bez kvadratického a lineárního členu

[editovat | editovat zdroj]

Taková rovnice je binomická, např.:

Viètovy vzorce

[editovat | editovat zdroj]

Pro kořeny kubické rovnice a její koeficienty platí následující vztahy:

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]