Koeficient šikmosti

Příklad asymetrického rozdělení s kladnou šikmostí.

Koeficient šikmosti je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem $\gamma _{1}$.

Definice

Koeficient šikmosti je definován jako

$\gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X-\operatorname {E} (X)]^{3}}{(\operatorname {var} \,X)^{3/2}}}$,

kde $\mu _{3}$ je třetí centrální moment, $\sigma$ je směrodatná odchylka, $\operatorname {E} (X)$ je střední hodnota a $\operatorname {var} \,X$ je rozptyl.

Vlastnosti

Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. pravý ocas) a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.

Symetrická rozdělení včetně normálního rozdělení mají šikmost nula.

Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho modus je menší nežli medián a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.

Výběrový koeficient šikmosti

Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem

$g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\sqrt {n}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$,

kde ${\overline {x}}$ je výběrový průměr, $m_{2}$ je výběrový rozptyl a $m_{3}$ je třetí výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:

${\begin{aligned}G_{1}={\frac {M_{3}}{M_{2}^{3/2}}}&={\frac {\sqrt {n(n-1)}}{n-2}}g_{1}\\b_{1}={\frac {m_{3}}{M_{2}^{3/2}}}&=\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{3/2}g_{1}\end{aligned}}$

Pro rozptyly těchto odhadů platí $\operatorname {var} \,b_{1}<\operatorname {var} \,g_{1}<\operatorname {var} \,G_{1}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Skewness na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Koeficient šikmosti na Wikimedia Commons

Portály: Matematika