Jensenova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, Jensenova nerovnost, jež byla pojmenována po dánském matematikovi Johanu Jensenovi, dává do souvislosti obraz konvexní kombinace a konvexní kombinaci obrazů pro konvexní funkci. S výhodou ji lze využít při důkazu jiných nerovností (např. A-G nerovnosti nebo Youngovy nerovnosti).

Vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Nechť je reálná funkce, konvexní na uzavřeném intervalu , , .
Potom platí: ,
kde a .
V případě konkávní funkce je nerovnost obrácená.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Konvexnost funkce na je ekvivalentní s výrokem:

.

Vlastní důkaz proběhne matematickou indukcí podle .

  • : případ je triviální,
  • : tvrzení vyplývá přímo z výše uvedené definice konvexnosti,
  • :

Indukční předpoklad: .
Dokážeme tuto nerovnost pro , tedy: .
Sporem lze ukázat: . Kdyby totiž platil opak, tedy , pak , což je spor s předpoklady.

Protože platí: , platí také , kde , a tedy: .
Snadno lze také ukázat: , protože .
Pak lze zřejmě psát: .
Označme: a dokažme, že . Protože , můžeme odhadnout shora, resp. zdola, když za , pro všechna dosadíme , resp. (zřejmě totiž platí: , pro analogicky).
Potom lze napsat: .
Z uvedené definice konvexnosti plyne: .
Podle indukčního předpokladu lze psát: .
Důsledkem tedy je: , což je dokazovaná nerovnost.

Související články[editovat | editovat zdroj]