Jensenova nerovnost, jež byla pojmenována po dánském matematikovi Johanu Jensenovi, dává do souvislosti obraz konvexní kombinace a konvexní kombinaci obrazů pro konvexní funkci. Lze ji využít při důkazu jiných nerovností (např. A-G nerovnosti nebo Youngovy nerovnosti).
Nechť je reálná funkce, konvexní na uzavřeném intervalu , , .
Potom platí:
,
kde a .
V případě konkávní funkce je nerovnost obrácená.
Konvexnost funkce na je ekvivalentní s výrokem:
.
Vlastní důkaz proběhne matematickou indukcí podle .
- : případ je triviální,
- : tvrzení vyplývá přímo z výše uvedené definice konvexnosti,
- :
Indukční předpoklad: .
Dokážeme tuto nerovnost pro , tedy:
.
Sporem lze ukázat: . Kdyby totiž platil opak, tedy , pak , což je spor s předpoklady.
Protože platí: , platí také , kde , a tedy: .
Snadno lze také ukázat: , protože .
Pak lze zřejmě psát:
.
Označme: a dokažme, že . Protože , můžeme odhadnout shora, resp. zdola, když za , pro všechna dosadíme , resp. (zřejmě totiž platí: , pro analogicky).
Potom lze napsat:
.
Z uvedené definice konvexnosti plyne:
.
Podle indukčního předpokladu lze psát:
.
Důsledkem tedy je:
, což je dokazovaná nerovnost.