Jensenova nerovnost

Jensenova nerovnost, jež byla pojmenována po dánském matematikovi Johanu Jensenovi, dává do souvislosti obraz konvexní kombinace a konvexní kombinaci obrazů pro konvexní funkci. Lze ji využít při důkazu jiných nerovností (např. A-G nerovnosti nebo Youngovy nerovnosti).

Vyjádření

Nechť $\varphi$ je reálná funkce, konvexní na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$, $n\in \mathbb {N}$, $\left(\forall i\in {\hat {n}}\right)\left(x_{i}\in \left[a,b\right]\right)$.
Potom platí: $\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)$,
kde $\left(\forall i\in {\hat {n}}\right)\left(\lambda _{i}\in \left[0,1\right]\right)$ a $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1$.
V případě konkávní funkce je nerovnost obrácená.

Důkaz

Konvexnost funkce $\varphi$ na $\left[a,b\right]$ je ekvivalentní s výrokem:

$\left(\forall x,y\in \left[a,b\right],x<y\right)\left(\forall \lambda \in \left[0,1\right]\right)\left(\varphi \left(\lambda y+(1-\lambda )x\right)\leq \lambda \varphi (y)+(1-\lambda )\varphi (x)\right)$.

Vlastní důkaz proběhne matematickou indukcí podle $n$.

• $n=1$: případ je triviální,
• $n=2$: tvrzení vyplývá přímo z výše uvedené definice konvexnosti,
• $n\to n+1$:

Indukční předpoklad: $\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)$.
Dokážeme tuto nerovnost pro $n+1$, tedy: $\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)$.
Sporem lze ukázat: $\left(\exists i_{0}\in {\widehat {n+1}}\right)\left(\lambda _{i_{0}}\neq 1\right)$. Kdyby totiž platil opak, tedy $\left(\forall i_{0}\in {\widehat {n+1}}\right)\left(\lambda _{i_{0}}=1\right)$, pak $\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}=n+1\geq 2$, což je spor s předpoklady.

Protože platí: $\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}=1$, platí také $\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}\lambda _{i}=\lambda$, kde $\lambda :=1-\lambda _{i_{0}}$, a tedy: $\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}=1$.
Snadno lze také ukázat: $\left(\forall i\in {\widehat {n+1}},i\neq i_{0}\right)\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}\in \left[0,1\right]\right)$, protože $\left(\forall i\in {\widehat {n+1}},i\neq i_{0}\right)\left(\lambda _{i}\in \left[0,\lambda \right]\right)$.
Pak lze zřejmě psát: $\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)=\varphi \left(\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}+\lambda _{i_{0}}x_{i_{0}}\right)=\varphi \left(\lambda \sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}x_{i}+(1-\lambda )x_{i_{0}}\right)$.
Označme: $y:=\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}x_{i}$ a dokažme, že $y\in \left[a,b\right]$. Protože $\left(\forall i\in {\widehat {n+1}}\right)\left(x_{i}\in \left[a,b\right]\right)$, můžeme $y$ odhadnout shora, resp. zdola, když za $x_{i}$, pro všechna $i$ dosadíme $b$, resp. $a$ (zřejmě totiž platí: $b=\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}b$, pro $a$ analogicky).
Potom lze napsat: $\varphi \left(\lambda \sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}x_{i}+(1-\lambda )x_{i_{0}}\right)=\varphi \left(\lambda y+(1-\lambda )x_{i_{0}}\right)$.
Z uvedené definice konvexnosti plyne: $\varphi \left(\lambda y+(1-\lambda )x_{i_{0}}\right)\leq \lambda \varphi (y)+(1-\lambda )\varphi (x_{i_{0}})$.
Podle indukčního předpokladu lze psát: $\lambda \varphi (y)+(1-\lambda )\varphi (x_{i_{0}})=\lambda \varphi (\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}x_{i})+(1-\lambda )\varphi (x_{i_{0}})\leq \lambda \sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}\varphi (x_{i})+(1-\lambda )\varphi (x_{i_{0}})=\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)$.
Důsledkem tedy je: $\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)$, což je dokazovaná nerovnost.

Související články

• Nerovnost (matematika)
• Konvexní funkce
• Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
• Youngova nerovnost

Portály: Matematika