Nerovnost aritmetického a geometrického průměru

V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Tvrzení

Formálně se nerovnost zapíše

${\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$,

nebo zkráceně

${\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

případně ekvivalentně

$\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}\right)\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$.

Důkaz

Pro dvě čísla elementární, ekvivalentní vztahu

$(a-b)^{2}\geq 0$,

také názorně plyne z Euklidovy věty o výšce.

Nabízí se důkaz matematickou indukcí, je však obtížný. Cauchy zde však elegantně použil techniku tzv. sestupné indukce.

Tvrzení bezprostředně plyne z Jensenovy nerovnosti a existuje i celá řada elementárnějších důkazů, např. Pólyův pomocí nerovnosti

$e^{x}\geq 1+x$.

AG nerovnost je rovněž ekvivalentní nerovnosti mezi geometrickým a harmonickým průměrem.

Odkazy

Související články

• Nerovnosti mezi průměry

Externí odkazy

• Důkaz AG nerovnosti
• Elegantní důkaz AG nerovnosti od doc. Pražáka

Portály: Matematika