Gaussovo kvadraturní pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V mnoha aplikacích je potřeba vypočítat určitý integrál . Může se ovšem stát, že integrál nelze přesně vypočítat, nebo je jeho výpočet příliš složitý. V takovém případě je tedy vhodné integrál vhodně aproximovat. Jednou z možností je užít kvadraturních vzorců, , mezi něž patří Newton-Cotesovy vzorce a dále také Gaussova kvadraturní formule. Pak platí , kde značí chybu kvadraturní formule.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Kvadraturní vzorec se nazývá Gaussův, má-li algebraický řád rovný , tj. pro chybu kvadraturní formule platí pro a .

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Potřebujeme nalézt koeficienty a uzly . Protože má Gaussův vzorec algebraický řád roven , dostáváme soustavu rovnic o neznámých,
.
Tyto neznámé lze však získat mnohem snadněji.
Pro danou funkci sestrojíme Hermiteův interpolační polynom , který splňuje podmínky a , a tento polynom zintegrujeme. Dostáváme vztahy
, kde
a .
Nyní uvažujme kvadraturní vzorec . Platí totiž .

Vzorec je Gaussův, právě tehdy, když pro uzly platí ,
kde , pro každý polynom stupně nejvýše . Jinými slovy, je třeba, aby polynom byl ortogonální ke všem polynomům stupně nejvýše . Toto skutečně platí, máme totiž dle předpokladu. Zbývá nalézt uzly . Tyto uzly splňují podmínku , kde jsou kořeny Legendrova polynomu (tj. ortogonální polynomy s vahou 1 v intervalu , určené např. rekurencí ).

Související články[editovat | editovat zdroj]