Singularita (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Singularita je v matematice obecný název bodu, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo kde se objekt nechová v jistém smyslu rozumně — například není diferencovatelný.

Například funkce

má na množině reálných čísel singularitu v bodě , kde diverguje k ±∞ a není zde definovaná.

Funkce

má také singularitu v bodě , protože zde nemá derivaci.

Komplexní analýza[editovat | editovat zdroj]

komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná.[zdroj?] Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu.[zdroj?] Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu.

Významnou roli mají především singularity izolované, tedy ty, kolem kterých existuje takové okolí, že v něm nejsou další singularity. Izolované singularity se dělí na odstranitelné, póly a singularity podstatné. V prvních dvou případech lze kolem singularity rozvinout funkci do Laurentovy řady, což v případě singularit neizolovaných není možné.

Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární body.

Izolovaná singularita[editovat | editovat zdroj]

Má-li f(z0) v bodě z0 singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu z0, na němž je f holomorfní, pak se z0 nazývá izolovaná singularita.

Odstranitelná singularita[editovat | editovat zdroj]

Má-li f v z0 singularitu a existuje-li limita

potom je tato singularita odstranitelná.

Přitom platí, že

Pól n-tého řádu[editovat | editovat zdroj]

Má-li f v z0 singularitu a existuje-li limita

platí, že existuje (přirozené) číslo n takové, že

Potom f má v z0 pól n-tého řádu.

Pól n-tého řádu jednoduše znamená, že funkce f se v z0 chová stejně jako funkce . Pokud je v z0 pól, dá se kolem z0 f rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě n členů ve své hlavní části.

Pól prvního řádu se často označuje jako jednoduchý pól.

Podstatná singularita[editovat | editovat zdroj]

Má-li f v z0 singularitu a limita

neexistuje, potom má f v z0 podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem z0 nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce

v bodě z = 0.