Singularita (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Singularita v matematice je obecný název bodu, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo kde se objekt nechová v jistém smyslu rozumně — není třeba diferencovatelný.

Například funkce

má na množině reálných čísel singularitu v bodě , kde diverguje k ±∞ a není zde definovaná.

Funkce

má také singularitu v bodě , protože zde nemá derivaci.

Komplexní analýza[editovat | editovat zdroj]

V komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná.[zdroj?] Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu.[zdroj?] Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu.

Významnou roli mají především singularity izolované, tedy takové, že kolem nich existuje okolí, že v něm nejsou singularity jiné. Izolované singularity rozlišujeme na odstranitelné, póly a singularity podstatné. V prvních dvou případech lze kolem singularity rozvinout funkci do Laurentovy řady, což v případě singularit neizolovaných není možné.

Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární body.

Izolovaná singularita[editovat | editovat zdroj]

Má-li f(z0) v bodě z0 singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu z0, na němž je f holomorfní, pak z0 nazveme izolovanou singularitou.

Odstranitelná singularita[editovat | editovat zdroj]

Má-li f v z0 singularitu a existuje-li limita

potom řekneme, že tato singularita je odstranitelná.

Přitom platí, že

Pól n-tého řádu[editovat | editovat zdroj]

Má-li f v z0 singularitu a existuje-li limita

platí, že existuje (přirozené) číslo n takové, že

Potom řekneme, že f má v z0 pól n-tého řádu.

Pól n-tého řádu jednoduše znamená, že funkce f se v z0 chová stejně jako funkce . Pokud je v z0 pól, dá se kolem z0 f rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě n členů ve své hlavní části.

Pól prvního řádu bývá často označován jako jednoduchý pól.

Podstatná singularita[editovat | editovat zdroj]

Má-li f v z0 singularitu a limita

neexistuje, potom řekneme, že f má v z0 podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem z0 nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce

v bodě z = 0.