Laguerrovy polynomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Laguerrovy polynomy, pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 – 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

přičemž n-tý Laguerrův polynom je polynom stupně n[1]

Někdy se definují i obecnějším způsobem jako soustava polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

,

přičemž n-tý Laguerrův polynom je polynom stupně n a a>-1.

Explicitně se dají definovat vztahem[2]

Další vztahy pro Laguerrovy polynomy a , které se někdy uvádí jako definice, jsou

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Laguerrovy polynomy jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice[2]

Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.

Laguerrovy polynomy v nízkých dimenzích[editovat | editovat zdroj]

Prvních šest Laguerrových polynomů

Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:

n
0
1
2
3
4
5
6

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. SZEGÖ, Gábor. Orthogonal polynomials. [s.l.] : AMS Bookstore, 1939. 432 s. ISBN 0-8218-1023-5. Kapitola 5, s. 100. (anglicky)  
  2. a b REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky. Praha : SNTL, 1981. S. 607.  

Související články[editovat | editovat zdroj]