Newtonovy–Cotesovy vzorce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Newtonův–Cotesův vzorec pro n = 2

Newtonovy–Cotesovy vzorce nebo Newtonova–Cotesova (kvadraturní) pravidla je v numerické matematice skupina vzorců pro numerickou integraci (kvadraturu) založenou na hodnotách integrandu ve stejně vzdálených bodech. Metoda je pojmenována po Isaacu Newtonovi a Rogeru Cotesovi.

Newtonovy–Cotesovy vzorce mohou být užitečné, jestliže jsou dány hodnoty integrandu v bodech, které jsou stejně vzdálené. Pokud je možné změnit body, v nichž se integrand vyčísluje, pak jsou pravděpodobně vhodnější jiné metody, např. Gaussovo kvadraturní pravidlo nebo Clenshawova–Curtisova kvadratura.

Popis[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že hodnota funkce f definované na uzavřeném intervalu je známa ve stejně vzdálených bodech xi, pro i = 0, ..., n, kde x0 = a a xn = b. Existují dva typy Newtonových–Cotesových vzorců, „uzavřený“ typ, který používá funkční hodnoty ve všech bodech, a „otevřený“ typ, který nepoužívá funkční hodnoty v koncových bodech. Uzavřené Newtonovy–Cotesovy vzorce stupně n mají tvar

kde xi = h i + x0, velikost kroku h je rovna (xnx0) / n = (ba) / n. Hodnoty wi se nazývají váhy.

Jak je vidět v následujícím odvození, váhy jsou odvozené z Lagrangeových interpolačních polynomů. Nezávisejí na funkci f, ale pouze na xi. Nechť L(x) jsou interpolační polynom v Lagrangeově tvaru pro dané datové body (x0, f(x0) ), …, (xn, f(xn) ), pak

Otevřené Newtonovy–Cotesovy vzorec stupně n mají tvar

váhy lze spočítat podobným způsobem jako u uzavřených vzorců.

Nestabilita u vzorců vysokého stupně[editovat | editovat zdroj]

Je možné zkonstruovat Newtonův–Cotesův vzorec jakékoli stupně n. Ale pro velká n Newtonovo–Cotesovo pravidlo může někdy trpět katastrofickým Rungeho jevem, kdy chyba pro velká n roste exponenciálně. Metody jako Gaussovo kvadraturní pravidlo a Clenshawova–Curtisova kvadratura s nestejně vzdálenými body (zahuštěné v blízkosti koncových bodů integračního intervalu) jsou stabilní a mnohem přesnější a jsou obvykle upřednostňovány před Newtonovou–Cotesovou metodou. Pokud tyto metody nelze použít, protože hodnoty integrované funkce jsou známy pouze v pevných, stejně vzdálených bodech, pak se lze Rungeho jevu vyhnout pomocí složeného pravidla, jak je vysvětleno níže.

Alternativně lze stabilní Newtonovy–Cotesovy vzorce zkonstruovat pomocí aproximace metodou nejmenších čtverců místo interpolace. To umožňuje vytvářet vzorce, které jsou i v případě vysokého stupně numericky stabilní.[1][2]

Uzavřené Newtonovy–Cotesovy vzorce[editovat | editovat zdroj]

Následující tabulka shrnuje Newtonovy–Cotesovy vzorce uzavřeného typu. Pro n-tého stupně, kde a je zkratka za .

Uzavřené Newtonovy–Cotesovy Formule
Stupeň n Velikost kroku h Obvyklé jméno Vzorec Chyba
1 Lichoběžníková metoda
2 Simpsonova metoda
3 Simpsonova 3/8 metoda
4 Booleovo pravidlo

Kvůli kopírování typografické chyby z často používané referenční publikace od Abramowitze a Steguna je Booleovo pravidlo často nesprávně nazýváno Bodeovo pravidlo.[3]

Exponent velikosti intervalu b − a v chybovém členu ukazuje rychlost, s níž se snižuje aproximační chyba. Stupeň derivace funkce f v chybovém členu udává maximální stupeň polynomů, které jsou tímto pravidlem aproximovány přesně (tj. s chybou rovnou nule). Pamatujte, že derivace funkce f v chybovém členu se zvyšuje o 2 pro každé další pravidlo. Číslo musí být z intervalu .

Otevřené Newtonovy–Cotesovy vzorce[editovat | editovat zdroj]

Následující tabulka shrnuje Newtonovy–Cotesovy vzorce otevřeného typu. Opět je zkratka za , kde , a n je stupeň metody.

Otevřené Newtonovy–Cotesovy Formule
Stupeň n Velikost kroku h Obvyklé jméno Vzorec Chyba
2 Obdélníková metoda pro středy
intervalů (anglicky midpoint rule)
3 Lichoběžníková metoda
4 Milneho pravidlo
5

Složená pravidla[editovat | editovat zdroj]

Aby Newtonova–Cotesova pravidla poskytovala dostatečně přesný výsledek, musí být velikost kroku h malá, což znamená, že interval integrace musí být také malý, což obvykle není. Z tohoto důvodu se numerická integrace obvykle provádí po rozdělení intervalu na menší podintervaly, na které se aplikuje Newtonova–Cotesovo pravidlo na každém podintervalu a dílčí výsledky se sečtou. Tento postup se nazývá složené pravidlo. Viz numerická integrace.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Pavel Holoborodko. Stable Newton-Cotes Formulas [online]. 2011-03-24 [cit. 2015-08-17]. Dostupné online. 
  2. Pavel Holoborodko. Stable Newton-Cotes Formulas (Open Type) [online]. 2012-05-20 [cit. 2015-08-18]. Dostupné online. 
  3. Booles Rule at Wolfram Mathworld, with typo in year "1960" (instead of "1860")] [online]. Dostupné online. 

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Newton–Cotes formulas na anglické Wikipedii.

  • M. Abramowitz a I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Section 25.4.)
  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm a Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. (Section 5.1.)
  • PRESS, WH; TEUKOLSKY, SA; VETTERLING, WT; FLANNERY, BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3. vyd. New York: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88068-8. Kapitola 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissa. 
  • Josef Stoer a Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (Section 3.1.)

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]