Akce grupy na množině

Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či charakteristických podgrup.

Definice

Nechť $G\,\!$ je grupa a $A\,\!$ neprázdná množina. Zobrazení $\cdot :G\times A\rightarrow A\,\!$ nazveme akcí grupy $G\,\!$ na množině $A\,\!$ (také působením $G\,\!$ na $A\,\!$) jestliže:

1. $g_{1}\cdot (g_{2}\cdot a)=(g_{1}g_{2})\cdot a\,\!$ pro všechna $g_{1},g_{2}\in G,a\in A\,\!$
2. $1\cdot a=a\,\!$ pro všechna $a\in A\,\!$ (kde $1\,\!$ je neutrální prvek $G\,\!$)

Jinak řečeno prvek $g_{1}\in G\,\!$ působí na $g_{2}\cdot a\in A\,\!$ stejně, jako působí $g_{1}g_{2}\in G\,\!$ na $a\in A\,\!$.

Reprezentace permutacemi

Nechť $G\,\!$ působí na $A\,\!$ a pro pevně zvolené $g\in G\,\!$ označme $\sigma _{g}\,\!$ zobrazení $\sigma _{g}:A\rightarrow A\,\!$ dané předpisem $a\mapsto g\cdot a\,\!$. Pak platí:

1. pro libovolné $g\in G\,\!$ je $\sigma _{g}\,\!$ permutace na množině $A\,\!$,
2. zobrazení $\phi :G\rightarrow \mathbb {S} _{A}\,\!$ dané vztahem $g\mapsto \sigma _{g}\,\!$, je homomorfismus grup.

Zobrazení $\phi \,\!$ se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy $G\,\!$ na množině $A\,\!$.

Akce grupy $G\,\!$ na $A\,\!$ se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže $g\cdot a=a\,\,\forall g\in G,a\in A\,\!$, resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.

Jádro akce a stabilizátor prvku

Jádro akce grupy $G\,\!$ na množině $A\,\!$ se nazývá množina $J=\{g\in G|g\cdot a=a,\,\forall a\in A\}\,\!$ (přičemž tato množina je shodná s $\ker \phi \,\!$).

Je-li pevně zvolen prvek $a\in A\,\!$, pak množinu $G_{a}=\{g\in G|g\cdot a=a\}\,\!$ nazýváme stabilizátor prvku $a\,\!$. Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky $J=\bigcap _{a\in A}G_{a}\,\!$).

Stabilizátor prvku $a\in A\,\!$ tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupa této grupy.

Orbita prvku

Množina ${\mathcal {O}}_{a}=\{g\cdot a|g\in G\}\,\!$ se nazývá orbita prvku $a\,\!$.

Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj. $\forall a,b\in A\exists g\in G:a=g\cdot b\,\!$).

Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že $|{\mathcal {O}}_{a}|=|G/G_{a}|\,\!$.

Tranzitivní akce a homogenní prostor

Říkáme, že grupa $G$ má na $A$ tranzitivní akci, pokud pro každé $a,b\in A$ existuje $g\in G$ takové, že $g\cdot a=b$.

Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné $a$ a každé $b\in A$ existuje $g\in G$ takové, že $g\cdot a=b$ a $G$ má tedy jenom jednu orbitu.

Pokud má $G$ na množině $A$ tranzitivní akci, můžeme množinu $A$ reprezentovat jako homogenní prostor

$A\simeq G/G_{a}$

kde $G_{a}$ je stabilizátor jednoho prvku $a\in A$ a $G/G_{a}$ je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je $gG_{a}\mapsto g\cdot a$ a je jednoznačná,neboť

• Díky tranzitivní akci existuje pro každé $a$ příslušné $g$
• Pokud $g_{1}\cdot a=g_{2}\cdot a$ tak $g_{2}^{-1}g_{1}a=a$, tedy $g_{2}^{-1}g_{1}\in G_{a}$ a $g_{1}G_{a}=g_{2}G_{a}$.

Zobrazení $G/G_{a}\to A$ je tedy bijekce.

Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd $G/G_{a}$ se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor $E(n)$ dimenze $n$ tedy můžeme reprezentovat jako

$E(n)\simeq Euc(n)/O(n).$

Odkazy

Související články

• Cayleyova věta
• Grupa
• Množina

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu akce grupy na množině na Wikimedia Commons

Autoritní data	LCCN: sh85057471 NLI: 987007543475605171

Portály: Matematika