Normála daného n −1 dimenzionálního podprostoru v n -dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor . V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku , v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu .
Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n −1 rozměrných útvarů – tzv. nadploch . Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.
Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce . V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor , např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu
Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě. Je-li rovina dána rovnicí
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
{\displaystyle ax+by+cz+d=0}
normálový vektor n roven
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi
x
=
x
(
r
,
s
)
,
{\displaystyle x=x(r,s),\,}
y
=
y
(
r
,
s
)
,
{\displaystyle y=y(r,s),\,}
z
=
z
(
r
,
s
)
,
{\displaystyle z=z(r,s),\,}
potom je vektor normály až na znaménko udán jako
n
=
∂
r
∂
r
×
∂
r
∂
s
=
|
∂
x
∂
r
,
∂
y
∂
r
,
∂
z
∂
r
∂
x
∂
s
,
∂
y
∂
s
,
∂
z
∂
s
e
1
,
e
2
,
e
3
|
,
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}},&{\frac {\partial y}{\partial r}},&{\frac {\partial z}{\partial r}}\\{\frac {\partial x}{\partial s}},&{\frac {\partial y}{\partial s}},&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\\mathbf {e} _{1},&\mathbf {e} _{2},&\mathbf {e} _{3}\end{matrix}}\right|,}
což má přímé zobecnění v n -rozměrném prostoru:
n
=
|
∂
x
1
∂
p
1
,
…
,
∂
x
n
∂
p
1
…
,
…
,
…
∂
x
1
∂
p
n
−
1
,
…
,
∂
x
n
∂
p
n
−
1
e
1
,
…
,
e
n
|
,
{\displaystyle \mathbf {n} =\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}},&\dots ,&{\frac {\partial x_{n}}{\partial p_{1}}}\\\dots ,&\dots ,&\dots \\{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{n-1}}},&\dots ,&{\frac {\partial x_{n}}{\partial p_{n-1}}}\\\mathbf {e} _{1},&\dots ,&\mathbf {e} _{n}\end{matrix}}\right|,}
kde
p
1
,
…
,
p
n
−
1
{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n-1}}
Je-li plocha dána jako množina bodů
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=0}
vektor normály až na znaménko jako gradient F :
n
=
∇
F
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)}
Všechny přímky , které prochází daným bodem křivky
r
=
r
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (s)}
s
{\displaystyle s}
oblouk křivky , a jsou kolmé na tečný vektor
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem
d
t
d
s
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}}
Jednotkový vektor
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
d
t
d
s
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}}
jednotkový vektor hlavní (první) normály . Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí
d
2
t
d
s
2
≠
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {t} }{\mathrm {d} s^{2}}}\neq 0}
Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako
n
=
1
k
1
d
t
d
s
=
1
k
1
d
2
r
d
s
2
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}}
kde
k
1
{\displaystyle k_{1}}
první křivost .
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
kolmé , tzn.
t
⋅
n
=
0
{\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =0}
oblouk
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
r
=
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
n
=
d
2
r
d
t
2
c
+
d
r
d
t
d
c
d
t
(
d
2
r
d
t
2
c
+
d
r
d
t
d
c
d
t
)
⋅
(
d
2
r
d
t
2
c
+
d
r
d
t
d
c
d
t
)
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\right)}}}}
kde
c
=
1
d
r
d
t
⋅
d
r
d
t
=
1
d
s
d
t
{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}}}={\frac {1}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}}
d
2
r
d
t
2
≠
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\neq 0}
d
2
r
d
t
2
c
+
d
r
d
t
d
c
d
t
≠
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\neq 0}
