Posunutí (geometrie)

V geometrii představuje posunutí (translace) geometrické zobrazení v afinním prostoru, které je charakterizováno tím, že každý bod se zobrazí na bod posunutý o stejný vektor, tzv. vektor posunutí, který posunutí jednoznačně určuje.

Posunutí v euklidovském prostoru se řadí mezi shodná zobrazení. Posunutí lze aplikovat na celý prostor nebo na vybrané geometrické útvary. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při posunutí nemění.

Maticová reprezentace

Některé transformace lze reprezentovat jako násobení vektoru souřadnic zleva určitou maticí. Při násobení maticí je vždy počátek souřadnic pevným bodem; posunutí je však afinní transformace, která nemá žádný pevný bod. Existuje ale trik, jak posunutí reprezentovat násobením vektoru souřadnic maticí zleva, a tím je použití homogenních souřadnic: trojrozměrný vektor $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ zapíšeme pomocí 4 homogenních souřadnic jako $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ .^[1]

Pro posunutí objektu o daný vektor $\mathbf {v}$ lze každý homogenní vektor $\mathbf {p}$ (zapsaný v homogenních souřadnicích) znásobit následující translační maticí:

T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Násobení touto maticí dá skutečně očekávaný výsledek:

T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}

Inverzní zobrazení a tedy i inverzní translační matici lze získat prostým obrácením vektoru:

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!

Součin translačních matic lze vyjádřit pomocí sčítání vektorů:

T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!

Protože sčítání vektorů je komutativní, násobení translačních matic je také komutativní (na rozdíl od násobení obecných matic).

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Translation (geometry) na anglické Wikipedii.

↑ PAUL, Richard. Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. Dostupné online. (anglicky)

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu posunutí na Wikimedia Commons

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

[1] PAUL, Richard. Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. Dostupné online. (anglicky)

[1]