Vytvořující funkce (posloupnost)

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Jako vytvořující (též generující) funkce posloupnosti $\{a_i\}$ je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti.

Definice

Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti $(a_0, a_1, a_2, ...)$ zapíšeme jako

$a(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... = \sum_{i=0}^\infin a_i x^i$

Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.

Vysvětlení na praktické ukázce

Mějme např. posloupnost

$(1, 1, 1, 1, 1, ...)$

Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako:

$a(x) = 1 + 1 x + 1 x^2 + ...$

Uzavřený tvar této vytvořující funkce je: (toto je ukázkový příklad, pro který je tato funkce obecně známa. Pro složitější posloupnosti je třeba tento tvar odvodit)

${1} \over {1-x}$

Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za $x$ libovolné reálné číslo, pro které uvedená mocninná řada konverguje, vyjde nám v obou tvarech vždy naprosto stejný výsledek.

Například doplníme $x=0.5$, pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce:

$a(0.5) = 1 + 0.5 + 0.5^2 + 0.5^3 + ... = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ... = 2$

A pro stejné $x=0.5$ vyjde uzavřený tvar taktéž:

${{1} \over {1 - 0.5}} = 2$

Výpočet koeficientu posloupnosti z vytvořující funkce

Máme-li vytvořující funkci ve tvaru ${1} \over {(1-x)^n}$, vypočítáme požadovaný koeficient $a_k$ následovně:

$a_k = C_{n-1+k}^{n-1} = \begin{pmatrix} n-1+k \\n-1 \end{pmatrix}$

Nebo lze pro $(1+x)^{-n}$ použít tento vzoreček

$a_k = C_{-n}^{k} = (-1)^{k} * C_{n + k - 1}^{k}$

Příklad

Hledáme koeficient $a_8$ u vytv. fce $(1-x)^{-3} = {{1} \over {(1-x)^3}}$:

$a_8 = C_{3-1+8}^{3-1} = C_{10}^2 = 45$

Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.

Vybrané posloupnosti a jejich vytvořující funkce

posloupnost	vytv. fce
$\left( 1,1,1,1,... \right)$	${1} \over {1-x}$
$\left( 1,-1,1,-1,... \right)$	${1} \over {1+x}$
$\left( 1,0,1,0,... \right)$	${1} \over {1-x^2}$
$\left( 1,0,...,0,1,0,...,0,1,0,... \right)$	${1} \over {1-x^n}$
$\left( 1,2,3,4,5,... \right)$	${1} \over {(1-x)^2}$
$\left( 1,k,k^2,k^3,k^4,... \right)$	${1} \over {1-k x}$
$\left( 1,\begin{pmatrix}k \\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k \\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k \\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k \\4 \end{pmatrix},... \right)$	$\left( 1+x \right)^k$
$\left( 1,k,\begin{pmatrix}k-1 \\k-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k \\k-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k+1 \\k-1 \end{pmatrix},... \right)$	${1} \over {\left( 1-x \right)^k}$
$\left( 0, 1, {{1} \over {2}}, {{1} \over {3}},{{1} \over {4}}, ... \right)$	$ln {1 \over {1-x}}$
$\left( 0, 1, -{{1} \over {2}}, {{1} \over {3}},-{{1} \over {4}}, ... \right)$	$ln \left( 1+x \right)$
$\left( 1, 1, {{1} \over {2}}, {{1} \over {6}},{{1} \over {24}},{{1} \over {120}}, ..., {{1} \over {k!}}, ... \right)$	$e^x$

Související články

• Posloupnost
• Momentová vytvořující funkce

Externí odkazy

• Vytvořující funkce na 'Korespondenční seminář KAM MFF UK'