Vytvořující funkce (posloupnost)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako vytvořující (též generující) funkce posloupnosti \{a_i\} je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti (a_0, a_1, a_2, ...) zapíšeme jako

a(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... = \sum_{i=0}^\infin a_i x^i

Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.

Vysvětlení na praktické ukázce[editovat | editovat zdroj]

Mějme např. posloupnost

(1, 1, 1, 1, 1, ...)

Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako:

a(x) = 1 + 1 x + 1 x^2 + ...

Uzavřený tvar této funkce lze snadno odvodit z obecného vztahu pro součet geometrické posloupnosti:

{1} \over {1-x}

Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za x libovolné reálné číslo z intervalu (-1,1) tzn. |x|<1, pro které uvedená mocninná řada konverguje, vyjde nám v obou tvarech vždy naprosto stejný výsledek.

Například doplníme x=0.5, pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce:

a(0.5) = 1 + 0.5 + 0.5^2 + 0.5^3 + ... = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ... = 2

A pro stejné x=0.5 vyjde uzavřený tvar taktéž:

{{1} \over {1 - 0.5}} = 2

Vytvořující funkci této jednoduché posloupnosti lze dále považovat za klíčovou pro odvození uzavřených tvarů složitějších posloupností.

Například derivací řady a(x) = 1 + 1 x + 1 x^2 + 1 x^3 + ... získáme řadu b(x) = 0 + 1 + 2 x + 3 x^2 + ...

Pokud tedy zderivujeme uzavřený tvar a(x) dostaneme

a(x)' = b(x)= {{1} \over {(1-x)^2}}

Tato odvozená funkce vytváří posloupnost (1, 2, 3, 4, 5, ...)

Podobnými úpravami lze postupně odvodit vytvořující funkce i pro vybrané posloupnosti (viz. tabulka níže).

Výpočet koeficientu posloupnosti z vytvořující funkce[editovat | editovat zdroj]

Máme-li vytvořující funkci ve tvaru {1} \over {(1-x)^n}, vypočítáme požadovaný koeficient a_k následovně:

a_k = C_{n-1+k}^{n-1} = \begin{pmatrix} n-1+k \\n-1 \end{pmatrix}

Nebo lze pro (1+x)^{-n} použít tento vzoreček

a_k = C_{-n}^{k} = (-1)^{k} * C_{n + k - 1}^{k}

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Hledáme koeficient a_8 u vytv. fce (1-x)^{-3} = {{1} \over {(1-x)^3}}:

a_8 = C_{3-1+8}^{3-1} = C_{10}^2 = 45

Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.

Vybrané posloupnosti a jejich vytvořující funkce[editovat | editovat zdroj]

posloupnost vytv. fce
\left( 1,1,1,1,... \right) {1} \over {1-x}
\left( 1,-1,1,-1,... \right) {1} \over {1+x}
\left( 1,0,1,0,... \right) {1} \over {1-x^2}
\left( 1,0,...,0,1,0,...,0,1,0,... \right) {1} \over {1-x^n}
\left( 1,2,3,4,5,... \right) {1} \over {(1-x)^2}
\left( 1,k,k^2,k^3,k^4,... \right) {1} \over {1-k x}
\left( 1,\begin{pmatrix}k \\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k \\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k \\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k \\4 \end{pmatrix},... \right) \left( 1+x \right)^k
\left( 1,k,\begin{pmatrix}k-1 \\k-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k \\k-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}k+1 \\k-1 \end{pmatrix},... \right) {1} \over {\left( 1-x \right)^k}
\left( 0, 1, {{1} \over {2}}, {{1} \over {3}},{{1} \over {4}}, ... \right) ln {1 \over {1-x}}
\left( 0, 1, -{{1} \over {2}}, {{1} \over {3}},-{{1} \over {4}}, ... \right) ln \left( 1+x \right)
\left( 1, 1, {{1} \over {2}}, {{1} \over {6}},{{1} \over {24}},{{1} \over {120}}, ..., {{1} \over {k!}}, ... \right) e^x

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]