Souřadnicový zápis vektorů

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Souřadnicový zápis vektorů je způsob zápisu vektorů a tenzorů pomocí jejich složek v dané soustavě souřadnic. Máme-li nějaké rovnice platné pro vektory či tenzory (dále tenzorové veličiny), pak pokud na pravé i levé straně takové rovnice jsou tenzory stejného typu, pak platí-li rovnost v jedné soustavě souřadnic, platí ve všech souřadných soustavách.

Obsah

1 Úvod
2 Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů
- 2.1 Stručné zavedení metrického tenzoru
- 2.2 Zvedání a snižování indexů
3 Kroneckerovo delta, Levi-Civitův pseudotenzor
- 3.1 Obecné zavedení
- 3.2 Důležité identity
4 Diferenciální operátory v souřadnicovém zápisu
5 Porovnání jednotlivých notací

[editovat] Úvod

Jednotlivé složky tenzorových veličin jsou značeny indexy, přičemž indexy nahoře se nazývají kontravariantní a odpovídají souřadnicím vektorů, kdežto indexy dole se nazývají kovariantní a odpovídají souřadnicím diferenciálních forem. V teorii relativity se zpravidla používá řeckých písmen a hodnot 0,.,3 pro indexování časoprostorových tenzorových veličin a latinských indexů 1,.,3 pro prostorové vektory a tenzory.

Složkový zápis vektorů je založen na užívání Einsteinova sumačního pravidla, tedy sčítání přes všechny hodnoty indexů, které jsou v jednom členu označeny stejně a mají opačnou polohu. Velmi často se rovněž v zápisu vyskytují metrický tenzor, kroneckerovo delta a Levi-Civitův pseudotenzor.

Příklady:

$A^i\,$ je v této notaci vektor, $S\,$ je skalár a ${R^i}_{jkl}$ . je jednou kontravariantní a třikrát kovariantní tenzor čtvrtého řádu.

$A^{ij}B_j\equiv \sum_{j=1}^{3}{A^{ij}B_j}$

[editovat] Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů

Tenzor n-tého rádu (mající tedy n volných indexů) realizuje objekt nezávislý na soustavě souřadnic, a to nehledě na polohu těchto indexů. Polohu jednotlivých indexů lze měnít vysčítáním přes metrický tenzor, který je vyjádřen buďto kovariantně, nebo kontravariantně.

[editovat] Stručné zavedení metrického tenzoru

Metrický tenzor udává diferenciální nárůst vzdálenosti podle vztahu

$\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j,\,$

představuje tedy jakousi Pythagorovu větu pro limitně malé trojúhelníky v daném bodě (jelikož určuje jak se změní vzdálenost v prostoru v závislosti na tom, jak se změní souřadnice). Metrický tenzor rovněž určuje velikost vektorů:

$|A|^2 \equiv g_{ij}A^i A^j.$

V dalším textu bude třeba namísto kovariantního tvaru $g i j$ získat jeho tvar kontravariantní $g i j$ , což lze provést tak, že rozřešíme soustavu rovnic

$g_{ij}g^{jk}=\delta_i^j,\,$

která platí jako důsledek základních předpokladů tenzorové analýzy.

[editovat] Zvedání a snižování indexů

Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů jsou provázány následujícími dvěma vztahy (A je n-krát kontravariantní a m-krát kovariantní tenzor (m+n)-tého řádu, jehož k-tý index (vždy z příslušné skupiny indexů) snižujeme, resp. zvyšujeme):

$g_{i_k j}{A^{i_1\dots i_{(k-1)} i_k i_{(k+1)} \dots i_n}}_{i_1 \dots i_m} = {A^{i_1\dots i_{(k-1)} i_{(k+1)} \dots i_n}}_{i_1 \dots i_m j}$

$g^{i_k j}{A^{i_1 \dots i_n}}_{i_1\dots i_{(k-1)} i_k i_{(k+1)} \dots i_m} = {A^{i_1 \dots i_n j}}_{i_1\dots i_{(k-1)} i_{(k+1)} \dots i_m}$

[editovat] Kroneckerovo delta, Levi-Civitův pseudotenzor

[editovat] Obecné zavedení

Chceme-li, aby námi užívaný formalismus platil v libovolné souřadné soustavě, je potřeba definovat permutační znak a kroneckerovo delta tak, aby šlo o tenzorové veličiny, a to s důrazem na správnou polohu indexů. Zpravidla se používá méně obecné zavedení.

$\delta^i_j = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{je-li } i=j \\ 0 & \mbox{je-li } i \ne j \end{matrix}\right.$

$\varepsilon_{i_1 i_2 ... i_n} = \sqrt{|g|}$ je-li $i_k=k, \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}$ je antisymetrické na každé dvojici indexů.

$\varepsilon^{i_1 i_2 ... i_n} = \frac{\operatorname{sign\ }g}{\sqrt{|g|}}$ je-li $i_k=k, \varepsilon^{i_1 i_2 \dots i_n}$ je antisymetrické na každé dvojici indexů.

$g\equiv\operatorname{det}(g_{ij})$ je přitom determinant z metrického tenzoru. Je vidět, že v rovném prostoru a kartézské souřadnicové soustavě toto zavedení přechází v klasické vavedení permutačního symbolu a Kroneckerova delta.

[editovat] Důležité identity

Identity vztahující se ke kroneckerovu tenzoru a Levi-Civitovu pseudotenzoru:

$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = \left(\delta_i^m \delta_j^n - \delta_i^n \delta_j^m\right)\operatorname{sign\ }g$

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon^{lmn} = \left(\delta_i^l\delta_j^m\delta_k^n + \delta_i^m \delta_j^n \delta_k^l + \delta_i^n \delta_j^l \delta_k^m - \delta_i^l \delta_j^n\delta_k^m - \delta_i^n\delta_j^m\delta_k^l - \delta_i^m\delta_j^l\delta_k^n\right)\operatorname{sign\ }g$

$\varepsilon_{i_1\dots i_n} \varepsilon^{m_1\dots m_n} = \left(\sum_{(\pi_1,\dots,\pi_n)}{\left(\prod_{k=1}^{n}{\delta_{i_k}^{\pi_k}}\right) \operatorname{sign\ }(\pi_1,\dots,\pi_n)}\right)\operatorname{sign\ }g$

kde (π₁,…,π_n) je permutace indexů m₁,…,m_n a sčítá se přes všechny permutace

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon^{imn} = \left(\delta_j^m\delta_k^n - \delta_j^n\delta_k^m\right)\operatorname{sign\ }g$

$\varepsilon_{i_1\dots i_n} \varepsilon^{i_1\dots i_n} = n! \operatorname{\ sign\ }g$

Znaménko determinantu metriky je ve většině „rozumných“ případů kladné, takže $\operatorname{sign\ }g = 1.$ Významu toto upřesnění nabývá především v teorii relativity, protože zde pracujeme s časoprostorem, který má smíšenou signaturu.

[editovat] Diferenciální operátory v souřadnicovém zápisu

Chceme-li souřadnicově zapsat vektorové (tenzorové) diferenciální operátory, bývá výhodné zavést tzv. operátor čárky pro derivování podle souřadnic, a to následujícím způsobem:

${A^{i_1\dots i_n}}_{j_1\dots j_m,k} \equiv {\partial}_{k} {A^{i_1\dots i_n}}_{j_1\dots j_m} \equiv \frac{{\partial A^{i_1\dots i_n}}_{j_1\dots j_m}}{\partial x^k}.$

Je-li metrický tenzor konstantní, pak veličina vzniklá operátorem čárky z tenzorové veličiny je opět tenzorová veličina.

[editovat] Porovnání jednotlivých notací

Tabulka vybraných vektorových identit ve vektorovém zápisu a v souřadnicovém zápisu:

Pojmenování	vektorový tvar	tvar ve složkách
Skalární součin vektorů:	$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$	$A^i B_i = \delta_{ik} A^i B^k = \delta^{ik} A_i B_k \,$
Vektorový součin vektorů:	$\mathbf{A}\times\mathbf{B}$	$\varepsilon_{ijk} A^j B^k$
Gradient skalárního pole:	$\nabla \phi(\mathbf{r})$	$\phi(x^i)_{,j}\,$
Divergence vektorového pole:	$\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{r})$	${A^j}_{,j}\left(=A^j(x^i)_{,j}\right)\,$
Rotace vektorového pole:	$\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})$	${2(A_{j,i}-A_{i,j})}\,$