Nedosažitelný kardinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Nedosažitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nedosažitelný kardinál je takové kardinální číslo \kappa, které je nespočetné, regulární a silně limitní (tj. pro každé \,\lambda< \kappa je také \, 2^{\lambda}<\kappa).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Zřejmě nedosažitelný kardinál je slabě nedosažitelný. Za předpokladu zobecněné hypotézy kontinua je kardinál nedosažitelný právě když je slabě nedosažitelný.

Nedosažitelnost[editovat | editovat zdroj]

Nedosažitelný kardinál nelze zdola dosáhnout pomocí operace kardinálního následníka, pomocí sjednocení (resp. suprema) menšího počtu menších kardinálů, ani pomocí operace mohutnost potence z menšího kardinálu. Jeho nedosažitelnost je tedy ještě o něco větší než u kardinálu slabě nedosažitelného.

Vztah ke stacionárním množinám[editovat | editovat zdroj]

Definujme \Gamma(\alpha)=2^{<\alef_{\alpha}} (viz funkce alef, slabá kardinální mocnina). Pak kardinál je nedosažitelný, právě když je regulární a zároveň je pevným bodem funkce \Gamma.

Navíc pro každý nedosažitelný kardinál \kappa, je množina \, \{\lambda < \kappa; \lambda je pevný bod funkce \, \Gamma\} uzavřená neomezená (v \kappa) a tedy stacionární.

Související články[editovat | editovat zdroj]