Funkce alef

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.
Konkrétní problémy: Viz seznam ToDo na diskusní stránce

Funkce Alef (značená $\aleph\,\!$ a nazývaná podle prvního hebrejského písmene Alef) se používá v axiomatické teorii množin pro zobrazení, které ordinálnímu číslu $\alpha$ přiřadí kardinální číslo představující $\alpha$-tou nejmenší nekonečnou mohutnost.

Neformální úvod

Aby bylo možno se exaktním způsobem vyjadřovat o velkých množinách a nedostat se přitom do sporu (viz např. Russellův paradox), byla vynalezena axiomatická teorie množin. V ní se zavádějí kardinální čísla pro popsání velikostí (mohutností) množin a ordinální čísla pro popsání postupů, kdy po každém kroku můžeme provést krok následující a po každé (i nekonečné) množině kroků můžeme uvažovat jejich supremum (výsledek po jejich aplikaci).

Příkladem takového postupu je vytváření větších množin z menších:

• Ordinálnímu číslu 0 přiřadíme kardinalitu nejmenší nekonečné (tedy spočetné) množiny. Existuje mnoho spočetných množin, ale jejich velikost je vyjádřena tímtéž kardinálním číslem. To je (v nejběžnější z možných formálních konstrukcí kardinálních čísel) totožné s ordinálním číslem $\omega$, proto platí $\aleph_0= \omega\,\!$
• Dalším ordinálním číslům přiřadíme vždy nejmenší větší mohutnost. Taková vždy existuje, protože třída kardinálních čísel je dobře uspořádaná. Proto $\aleph_1\,\!$ je kardinalita nejmenší množiny větší, než jsou spočetné množiny, nebo ekvivalentně, $\aleph_1\,\!$ je nejmenší kardinální číslo větší, než $\aleph_0\,\!$.
• $\aleph_2\,\!$ je nejmenší kardinální číslo větší, než $\aleph_1\,\!$ atd.
• Nejbližší další ordinální číslo, pro které musíme funkci definovat, je $\omega_0\,\!$. Využijeme toho, že ke každé množině M kardinálních čísel existuje její supremum (tj. nejmenší kardinální číslo větší než všechna čísla z té množiny), které lze zkonstruovat jako sjednocení těchto kardinálních čísel. Abychom dodrželi princip, že funkce $\aleph\,\!$ řadí kardinální čísla dle velikosti, definujeme $\aleph_{\omega_0}$ jako supremum všech předchozích hodnot, tedy $\aleph_{\omega_0}= \bigcup_{\alpha<\omega_0}\aleph_\alpha \,\!$.
• $\aleph_{\omega_0+1}\,\!$ pak bude nejmenší kardinální číslo větší, než $\aleph_{\omega_0}\,\!$. Podobně se definuje $\aleph_{\omega_0+2}\,\!$ atd.
• $\aleph_{\omega_0+\omega_0}\,\!$ pak bude supremum posloupnosti $\aleph_{\omega_0+1},\aleph_{\omega_0+2}, \dots \,\!$
• Podobně lze definovat krok pro všechna větší ordinální čísla, včetně nespočetných.

Definice

Funkcí $\aleph\,\!$ rozumíme třídové zobrazení z třídy všech ordinálních čísel do třídy všech kardinálních čísel, které splňuje následující podmínky ( věta o transfinitní rekurzi zaručuje, že takové třídové zobrazení existuje a že je určeno jednoznačně):

• $\aleph_0= \omega_0\,\!$
• Pro každé ordinální číslo $\alpha$ je $\aleph_{\alpha+1}\,\!$ rovno nejmenšímu kardinálnímu číslu většímu než $\aleph_{\alpha}\,\!$
• Pro každé limitní ordinální číslo $\alpha$ je $\aleph_{\alpha}= \bigcup_{\beta<\alpha}\aleph_\beta\,\!$

V souladu s předpoklady věty o transfinitní rekurzi je funkční hodnota pro každé ordinální číslo definována právě jednou z těchto odrážek; ordinální číslo lze zapsat jako $\alpha+1\,\!$, právě když není limitní a není to 0.

Vlastnosti funkce $\alef\,\!$

Mnoho matematických tvrzení lze vyjádřit pomocí této funkce, například Hypotéza kontinua je ekvivalentní s tvrzením "reálná čísla mají mohutnost $\alef_1\,\!$".

Pevné body

Vzhledem k tomu, jak prudce funkce $\alef\,\!$ roste (např. v modelech, kde platí Zobecněná hypotéza kontinua, je reálných čísel i spojitých funkcí $\alef_1\,\!$ a všech matematických funkcí je $\alef_2\,\!$), může být překvapivé, že tato funkce má pevné body, tj. že existují ordinální čísla $\alpha\,\!$ taková, že $\aleph_\alpha=\alpha\,\!$. Prvním pevným bodem je limita (tj. supremum) posloupnosti $\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}}\ldots\,\!$