Funkce alef

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Funkce Alef (značená  \aleph\,\! a nazývaná podle prvního hebrejského písmene Alef) se používá v axiomatické teorii množin pro zobrazení, které ordinálnímu číslu \alpha přiřadí kardinální číslo představující \alpha-tou nejmenší nekonečnou mohutnost.

Neformální úvod[editovat | editovat zdroj]

Aby bylo možno se exaktním způsobem vyjadřovat o velkých množinách a nedostat se přitom do sporu (viz např. Russellův paradox), byla vynalezena axiomatická teorie množin. V ní se zavádějí kardinální čísla pro popsání velikostí (mohutností) množin a ordinální čísla pro popsání postupů, kdy po každém kroku můžeme provést krok následující a po každé (i nekonečné) množině kroků můžeme uvažovat jejich supremum (výsledek po jejich aplikaci).

Příkladem takového postupu je vytváření větších množin z menších:

  • Ordinálnímu číslu 0 přiřadíme kardinalitu nejmenší nekonečné (tedy spočetné) množiny. Existuje mnoho spočetných množin, ale jejich velikost je vyjádřena tímtéž kardinálním číslem. To je (v nejběžnější z možných formálních konstrukcí kardinálních čísel) totožné s ordinálním číslem \omega, proto platí  \aleph_0= \omega\,\!
  • Dalším ordinálním číslům přiřadíme vždy nejmenší větší mohutnost. Taková vždy existuje, protože třída kardinálních čísel je dobře uspořádaná. Proto  \aleph_1\,\! je kardinalita nejmenší množiny větší, než jsou spočetné množiny, nebo ekvivalentně,  \aleph_1\,\! je nejmenší kardinální číslo větší, než  \aleph_0\,\! .
  •  \aleph_2\,\! je nejmenší kardinální číslo větší, než  \aleph_1\,\! atd.
  • Nejbližší další ordinální číslo, pro které musíme funkci definovat, je  \omega_0\,\! . Využijeme toho, že ke každé množině M kardinálních čísel existuje její supremum (tj. nejmenší kardinální číslo větší než všechna čísla z té množiny), které lze zkonstruovat jako sjednocení těchto kardinálních čísel. Abychom dodrželi princip, že funkce \aleph\,\! řadí kardinální čísla dle velikosti, definujeme \aleph_{\omega_0} jako supremum všech předchozích hodnot, tedy  \aleph_{\omega_0}= \bigcup_{\alpha<\omega_0}\aleph_\alpha \,\! .
  •  \aleph_{\omega_0+1}\,\! pak bude nejmenší kardinální číslo větší, než  \aleph_{\omega_0}\,\! . Podobně se definuje \aleph_{\omega_0+2}\,\! atd.
  • \aleph_{\omega_0+\omega_0}\,\! pak bude supremum posloupnosti \aleph_{\omega_0+1},\aleph_{\omega_0+2}, \dots \,\!
  • Podobně lze definovat krok pro všechna větší ordinální čísla, včetně nespočetných.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Funkcí \aleph\,\! rozumíme třídové zobrazení z třídy všech ordinálních čísel do třídy všech kardinálních čísel, které splňuje následující podmínky ( věta o transfinitní rekurzi zaručuje, že takové třídové zobrazení existuje a že je určeno jednoznačně):

V souladu s předpoklady věty o transfinitní rekurzi je funkční hodnota pro každé ordinální číslo definována právě jednou z těchto odrážek; ordinální číslo lze zapsat jako \alpha+1\,\!, právě když není limitní a není to 0.

Vlastnosti funkce \alef\,\![editovat | editovat zdroj]

Mnoho matematických tvrzení lze vyjádřit pomocí této funkce, například Hypotéza kontinua je ekvivalentní s tvrzením "reálná čísla mají mohutnost \alef_1\,\!".

Pevné body[editovat | editovat zdroj]

Vzhledem k tomu, jak prudce funkce \alef\,\! roste (např. v modelech, kde platí Zobecněná hypotéza kontinua, je reálných čísel i spojitých funkcí \alef_1\,\! a všech matematických funkcí je \alef_2\,\!), může být překvapivé, že tato funkce má pevné body, tj. že existují ordinální čísla \alpha\,\! taková, že \aleph_\alpha=\alpha\,\!. Prvním pevným bodem je limita (tj. supremum) posloupnosti \aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}}\ldots\,\!