Multikolinearita

Multikolinearita je v ekonometrii výraz pro vadu vyskytující se v matici pozorování regresorů X, kdy není splněn jeden z Gauss-Markovových požadavků pro odhad metodou nejmenších čtverců a sice, že matice X nemá plnou hodnost - případ tzv. perfektní multikolinearity, popř. matice pozorování X^TX má determinant velmi blízký nule a z toho důvodu lze odhadnout inverzní matici (X^TX)⁻¹ pouze za cenu velkých statistických chyb odhadu parametrů v regresním modelu.

Perfektní kolinearita

$det(X^{T}X)^{-1}=0$

Vzniká právě tehdy, pokud jsou sloupce matice X ortogonální (jejich skalární součin je roven nule) nebo pokud je matice X singulární. V praxi není běžná a znamená spíše chybu ve specifikaci modelu.

Multikolinearita

$det(X^{T}X)^{-1}{\dot {=}}0$

Příčiny vzniku

1. Makroúdaje často vykazují stejné přírůstky za určité období a vyvíjí se stejným směrem
2. Použití zpožděné proměnné
3. V důsledku neexperimentálního charakteru dat může multikolinearita objevit i v průřezových datech
4. Při použití nula-jednotkových proměnných při špatné specifikaci modelu

Důsledky

1. Ve statistickém výběru pozorování jsou velké standardní chyby s_bj
2. Silná náchylnost odhadnutého vektoru parametrů b na malé změny v matici X
3. Vznik pochybností o modelu
4. Koeficient vícenásobné determinace R vyjde blízko 1 a současně jsou t-testy odhadnutých parametrů statisticky nevýznamné

Měření multikolinearity

Regrese u modelu s max. dvěma regresory a úrovňovou konstantou

Použití párových korelačních koeficientů $R_{X_{i},X_{j}}$ a pokud je $R_{X_{i},X_{j}}\geq 0.8$, pak předpokládáme multikolinearitu.

Vícenásobná regrese - k > 3

Použijeme metodu tzv. pomocných regresí, kdy vybereme j-tou exogenní proměnnou a vyjádříme ji zbylými k - 1 exogenními proměnnými.

$X_{j}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}+\dots +\beta _{k-1}X_{k-1}$

Spočteme následně koeficient vícenásobné determinace modelu R². Pokud je R² blízký 1, pak usuzujeme na existenci kolinearity. Pro potvrzení výsledku můžeme použít statistický F-test založený na testování významnosti celého modelu pomocné regrese.

Empirické pravidlo pro rozpoznání významné multikolinearity je, že pokud je $R^{2}<R_{j}{}^{2}$, kde $R^{2}$ je koeficient vícenásobné determinace modelu a $R_{j}{}^{2}$ je koeficient vícenásobné determinace j-té pomocné regrese, pak usuzujeme na významnou multikolinearitu.

Farrar - Glauberův test

Farrar navrhuje sestavit matici $(X^{*T}X^{*})=R={\begin{pmatrix}r_{11}&r_{12}&\dots &r_{1k}\\r_{21}&r_{22}&\dots &r_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{k1}&r_{k2}&\dots &r_{kk}\\\end{pmatrix}}$ kde $r_{jh}=r_{hj}$ jsou párové korelační koeficienty mezi proměnnými matice X normovanými podle vzorce: $x_{ji}^{*}={\frac {x_{ji}-{\bar {x_{j}}}}{s_{b_{j}}/{\sqrt {n}}}}$

Je zřejmé, že $0\leq detR\leq 1$.

Pokud je determinant matice R roven jedné, jsou sloupce matice X nekorelované. Pokud je determinant roven 0, jedná se o perfektní multikolinearitu. Neexistuje však test statistické významnosti, jež by ukazoval, jaká hodnota det R je již "dostatečně" malá, abychom mohli soudit, že existuje statisticky významná multikolinearita. Z toho lze usoudit, že použití tohoto postupu je pouze aproximativní a na multikolinearitu ukazují až hodnoty blízko nule.[1]

Postup při existenci silné multikolinearity

1. zvětšit počet pozorování
2. využití apriorních omezení z ekonomické teorie (které vyústí např. ve sloučení dvou proměnných)
3. vypuštění nedominantní závislé proměnné
4. použití tzv. smíšeného odhadu - využití jak průřezových, tak časových dat
5. normování proměnných - např. užití prvních diferencí, centrování apod.

Reference

• [1] Hušek R., Ekonometrická analýza, Praha, 2007, nakladatelství Oeconomica, str. 98

Příbuzná témata

• Zobecněná metoda nejmenších čtverců

Literatura

• Hušek, R. Ekonometrická analýza, Praha, 2007, nakladatelství Oeconomica, ISBN 978-80-245-1300-3

Autoritní data	LCCN: sh85088343 NLI: 987007550841905171

Portály: Matematika