Jordanův rozklad

Jordanův rozklad je rozklad obecné komplexní čtvercové matice. Jedná se o velmi užitečný teoretický nástroj. Pro praktické počítání se používá zřídka.

Jordanův rozklad

Libovolnou čtvercovou matici $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ lze vyjádřit jako součin

$A=XJX^{-1},$

kde matice $X$ je regulární a matice $J$ je blokově diagonální

$J=\left({\begin{array}{ccccc}J_{1}&0&0&\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &0&0&J_{k}\end{array}}\right),\quad {\text{kde}}\quad J_{i}=\left({\begin{array}{cccccc}\lambda _{i}&1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda _{i}&1&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&0&\lambda _{i}\end{array}}\right)\in \mathbb {C} ^{n_{i}\times n_{i}},$

pro $i=1,\ldots ,k$. Zřejmě platí $n_{1}+\ldots +n_{k}=n$. Rozklad

• $A=XJX^{-1}$ se nazývá Jordanův rozklad,
• matice $J$ se nazývá Jordanův kanonický tvar (matice $A$),
• matice $J_{i}$ se nazývá Jordanův blok.

Čísla $\lambda _{i}$ jsou vlastní čísla matice $A$. Jednomu vlastnímu číslu $\lambda$ může odpovídat více Jordanových bloků. Počet Jordanových bloků odpovídajících vlastnímu číslu $\lambda$ nazýváme geometrickou násobností vlastního čísla, součet dimenzí těchto bloků nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla. Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice $A$ jejíž Jordanův kanonický tvar $J$

• obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1 se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
• Matice, která není diagonalizovatelná ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
• Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna se nazývá derogatory (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
• A naopak, matice se nazývá nonderogatory pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům $r\neq q$ odpovídají různá vlastní čísla $\lambda _{r}\neq \lambda _{q}$).

Podobnost matic

Matice $A$, $B$ jsou podobné, jestliže existuje taková regulární matice $Y$, že platí

$B=YAY^{-1},\quad {\text{a tedy}}\quad A=Y^{-1}BY.$

Každá matice je podobná svému Jordanovu kanonickému tvaru. Mají-li tedy dvě matice identický Jordanův kanonický tvar, pak jsou si podobné a naopak. Relace podobnosti je tedy ekvivalence. Množina všech matic lze rozložit třídy sobě podobných matic, přičemž každá třída je charakterizována právě jednou maticí v Jordanově tvaru.

Maticové funkce

Jordanův rozklad lze využít k rozšíření některých komplexních funkcí na okruh čtvercových matic, viz maticová funkce.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice

Demonstrujme si popsaný postup na jednoduchém příkladu. Máme nalézt Jordanův rozklad matice

$\quad A={\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2&4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2\end{pmatrix}}.$

Nejprve určíme vlastní čísla dané matice například pomocí determinantu

$\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2-\lambda &4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2-\lambda \end{vmatrix}}=0.$

Dostáváme

$\det(A-\lambda I)=\lambda ^{2}-{\frac {\pi }{3}}\lambda +{\frac {\pi ^{2}}{36}}=\left(\lambda -{\frac {\pi }{6}}\right)^{2}=0.$

Nalezli jsme tedy vlastní číslo $\lambda _{1}={\frac {\pi }{6}}$ s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení $x$ homogenní soustavy $(A-\lambda _{1}I)x=0$. Zřejmě

$A-\lambda _{1}I={\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}}$

a jedním z hledaných řešení je například vektor $x_{1}=(2,-1)^{T}$. Všimněme si, že matice $A-\lambda _{1}I$ má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice $A$ nemá. Vlastní číslo, má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu, musíme sestavit matici $X$. Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor $x_{1}$, druhým sloupcem $x_{2}$ bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí

$Ax_{2}=x_{1}+\lambda x_{2}.$

Snadno se přesvědčíme, že $x_{2}=(1,0)^{T}$. Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

${\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2&4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}&1\\0&{\frac {\pi }{6}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}^{-1},$

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice $A$. Obsahuje jediný Jordanovův blok velikosti 2.

Související články

• Vlastní číslo
• Schurův rozklad
• Maticová funkce

Portály: Matematika