Maticová funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek z oblasti matematiky potřebuje úpravy. Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vhodně vylepšíte. Inspiraci k vylepšení lze hledat v radách na stránce Vzhled a styl, případně na diskusní stránce článku.

Maticová funkce je funkce, která zobrazuje matice na matice.

[editovat] Definice

Nechť $f (z)$ je funkce komplexní proměnné $z$ , a nechť $\mathbf{D}$ je matice $\in \mathbb{C}^{n \times n}$ a nechť $\sigma(\mathbf{D})={\lambda_1,...,\lambda_p}$ je její spektrum. Maticovou funkci $f(\mathbf{D})$ můžeme definovat několika různými způsoby, a to pomocí Taylorova rozvoje, Jordanova kanonického tvaru a Cauchyova integrálu

[editovat] Taylorův rozvoj

Nechť funkce $f (z)$ má Taylorův rozvoj: $f(z) = f(0) + f'(0)\cdot z + f''(0)\cdot \frac{z^2}{2!} + f'''(0)\cdot \frac{z^3}{3!}+ \cdots$
, potom definujeme maticovou funkci tím způsobem, že nahradíme komplexní proměnnou maticí, tedy $f(\mathbf{D})=f(0) + f'(0)\cdot \mathbf{D} + f''(0)\cdot \frac{\mathbf{D}^2}{2!} + f'''(0)\cdot \frac{\mathbf{D}^3}{3!}+ \cdots$
. V této definici musíme uvážit obor konvergence. Konverguje-li Taylorův rozvoj $f (z)$ konverguje pro $| x | < r$ pro nějaké $r \in \mathbb{R}$ , pak Taylorův rozvoj $f(\mathbf{D})$ konverguje pokud pro všechna $\lambda_i \in \sigma{(\mathbf{D})}$ platí $| λ i | < r$ . Protože ne vždy mocninná řada konverguje na dostatečně velkém poloměru konvergence, používáme spíše definice pomocí Jordanova kanonického tvaru nebo Cauchyova integrálu.

[editovat] Jordanův kanonický tvar

Maticovou funkci $f(\mathbf{D})$ můžeme definovat existuje-li rozklad na Jordanův kanonický tvar, tedy existuje-li regulární matice $\mathbf{Z}$ taková, že $\mathbf{D}=\mathbf{ZJ_{D}Z^{-1}}=\mathbf{Z}diag(\mathbf{J}_1(\lambda_1),\mathbf{J}_2(\lambda_2),...,\mathbf{J}_k(\lambda_k))\mathbf{Z}^{-1}$ , kde $λ i$ je vlastní číslo matice $\mathbf{D}$ a $\mathbf{J}_{i}(\lambda_i)$ je Jordanova buňka řádu $n i$ , $\mathbf{J}_i(\lambda_i) = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_i & \cdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_i \end{pmatrix}$ a tedy $f(\mathbf{D})=\mathbf{Z}diag(f(\mathbf{J}_1(\lambda_1)),f(\mathbf{J}_2(\lambda_2)),...,f(\mathbf{J}_k(\lambda_k))\mathbf{Z}^{-1}$ , kde $f(\mathbf{J}_i(\lambda_i)) = \begin{pmatrix} f(\lambda_i) & f'(\lambda_i) & \cdots & \displaystyle\frac{f^{(n_i-1)}(\lambda_i)}{(n_i-1)!}\\ 0 & f(\lambda_i) & \cdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & f'(\lambda_i) \\ 0 & \cdots & 0 & f(\lambda_i) \end{pmatrix}$

[editovat] Cauchyův integrál

NEchť $f$ je analytická křivka definována na množině $A \subset \mathbb{C}$ , a nechť $C$ je křivka definovaná na $A$ ohraničující $z$ . Pak
$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C {\frac{f(s)}{s-z}}\, \mathrm{d}s$ , a
$f(\mathbf{D}) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C {f(s)(sI-\mathbf{D})^{-1}}\, \mathrm{d}s.$ ,kde $C$ uzavírá $\sigma(\mathbf{D})=\left\{\lambda_1,\cdots,\lambda_p\right\}$

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Limita

Jestliže v bodě $x_0 \in \mathbf{D}$ má každá z funkcí $f i j (x)$ limitu $L i j$ , pak říkáme, že maticová funkce $\mathbf{F}(x)$ má v bodě $x 0$ limitu

$\lim_{x \rightarrow x_0} \mathbf{F}(x) = (L_{ij})$

[editovat] Spojitost

Pokud je každá z funkcí $f i j (x)$ v bodě $x_0 \in \mathbf{D}$ spojitá, pak říkáme, že maticová funkce $\mathbf{F}(x)$ je v bodě $x 0$ spojitá.

[editovat] Derivace

Pokud v bodě $x_0 \in \mathbf{D}$ má každá z funkcí $f i j (x)$ derivaci $f_{ij}^\prime$ , pak říkáme, že maticová funkce $\mathbf{F}(x)$ má v bodě $x 0$ derivaci

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}x}(x_0) = (f_{ij}^\prime(x_0))$

Pro dvě maticové funkce $\mathbf{A}(x)$ , $\mathbf{B}(x)$ , které mají derivace v bodě $x 0$ platí vztahy

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathbf{A}(x) + \mathbf{B}(x)) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}x}(x) + \frac{\mathrm{d}\mathbf{B}}{\mathrm{d}x}(x)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathbf{A}(x) \cdot \mathbf{B}(x)) = [\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}x}(x)] \cdot \mathbf{B}(x) + \mathbf{A}(x) \cdot [\frac{\mathrm{d}\mathbf{B}}{\mathrm{d}x}(x)]$

[editovat] Příklad

Nechť $f (z) = exp(z)$ , nechť matice $\mathbf{D}= \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ . Řešením rovnice det( $\mathbf{D}-\lambda\mathbf{I})=0$ nám vyjdou hodnoty $\lambda_{1,2,3}=2,\mathbf{J_D}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix},\mathbf{Z}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}$
Tedy $\mathbf{D}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}$ a
$\exp(\mathbf{D})= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^2 & e^2 & 0\\ 0 & e^2 & 0 \\ 0 & 0 & e^2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2e^2 & 0 & -e^2\\ e^2 & e^2 & -e^2 \\ e^2 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$ .