Frekvenční modulace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Principem frekvenční modulace (FM) je závislost okamžité frekvence nosné vlny na změnách amplitudy modulačního signálu. Můžeme říct, že okamžitá úhlová frekvence \Omega(t) je funkcí času a mění se v rytmu okamžité výchylky modulačního signálu. Informace je tedy kódována nikoliv změnou amplitudy nebo fáze, ale změnou frekvence nosné vlny. Maximální amplitudě napětí modulačního průběhu U_m odpovídá maximální změna frekvence nosné, kterou nazýváme frekvenční zdvih a značíme \Delta f, čemuž odpovídá úhlová frekvence \Delta \Omega.

Matematický popis[editovat | editovat zdroj]

Ukázka časového průběhu frekvenčně modulovaného signálu.

Obecně bude mít nosná vlna následující průběh:

u_n(t) = U_n \sin (\Omega t + \phi)\,
kde U_n je apmlituda nosné, \Omega je úhlová frekvence nosné a \phi fáze.
V případě frekvenční modulace je funkcí času právě úhlová frekvence \Omega.

Úhlovou frekvenci jako harmonickou funkci času můžeme vyjádřit vztahem:

\Omega(t) = \Omega + \Delta \Omega  \cos (\omega t)\,
kde \Delta \Omega je frekvenční zdvih, \omega pak úhlová frekvence modulační vlny.

Po dosazení do rovnice nosné vlny a položením fázového posuvu \phi = 0 (jeho velikost je konstantní a nemá vliv na výsledek dalších odvození a výpočtů) dostáváme vztah:

u_n(t) = U_n \sin ((\Omega + \Delta \Omega \cos (\omega t))t) = U_n \sin(\Phi(t,\omega))\,
kde funkce \Phi(t,\omega) je okamžitá fáze napětí a pro \phi = 0 je integrálem úhlové frekvence \Omega (t) podle t. Platí tedy:
\Phi(t, \omega) = \int \Omega(t)\, \mathrm{d}t = \int (\Omega + \Delta \Omega  \cos (\omega t)) \mathrm{d}t = \Omega t + \frac{\Delta \Omega}{\omega} \sin (\omega t)

Dále zavádíme parametr zvaný modulační index FM označený m_{FM}:

m_{FM} = \frac{\Delta \Omega}{\omega} = \frac{2\pi \Delta f}{2\pi f_m}
kde \Delta f je frekvenční zdvih a f_m frekvence modulačního signálu.

Dosazením funkce \Phi(t, \omega) zpět do rovnice  u_n = U_n \sin(\Phi(t,\omega))\, dostáváme obvyklý tvar rovnice frekvenčně modulované vlny:

 u_n = U_n \sin (\Omega t + m_{FM} sin (\omega t))\,
kde u_n je okamžitá hodnota napětí modulovaného signálu, U_n amplituda nosné vlny, \Omega úhlová frekvence nosné vlny, m_{FM} modulační index a \omega frekvence modulační vlny.

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu[editovat | editovat zdroj]

Úpravou rovnice frekvenčně modulované vlny podle vzorce pro součin argumentů funkce sinus získáme rovnici ve tvaru:

u_n = U_n (\sin(\Omega t)\cos(m_{FM}\sin(\omega t)) + \cos(\Omega t)\sin(m_{FM}\sin(\omega t)))\,

Dále platí, že lze provést tento rozvoj:

\sin(m_{FM} \sin (\omega t)) = 2J_1(M_{FM})\sin(\omega t) + 2J_3(M_{FM})\sin(3\omega t) + 2J_5(M_{FM})\sin(5\omega t) + ... \,
\cos(m_{FM} \sin (\omega t)) = J_0(M_{FM}) + 2J_2(M_{FM})\cos(2 \omega t) + 2J_4(M_{FM})\cos(4\omega t) + ...\,

Vidíme, že vzniká nekonečná řada součinů. Funkce označené jako J_n(m_{FM}) jsou Besselovy funkce I. druhu n-tého řádu s argumentem m_{FM}, což je modulační index FM. Dosazením do poslední rovnice a další úpravou podle vzorců pro součiny goniometrických funkcí získáme nekonečnou řadu diskrétních složek o úhlových frekvencích:

 \Omega, \Omega - \omega, \Omega - 2 \omega, \Omega - 3 \omega, \Omega - 4 \omega, \Omega - 5 \omega ... \,
 \Omega + \omega, \Omega + 2 \omega, \Omega + 3 \omega, \Omega + 4 \omega, \Omega + 5 \omega ... \,
Spektrum frekvenčně modulovaného signálu pro modulační index 3.3, používaného pro přenos TV zvuku.

Z výše uvedeného rozvoje vyplývá, že frekvenční modulace jednou frekvencí \omega vytvoří nekonečně mnoho postranních frekvencí, jež jsou rozmístěny symetricky na obě strany od nosné frekvence ve vzdálenostech daných násobky modulační frekvence \omega. Amplitudy nosné vlny i jednotlivých postranních frekvencí jsou dány hodnotami Besselových funkcí I. druhu J_n(m_{FM}) a jsou tedy závislé na modulačním indexu. Směrem od nosné tyto amplitudy postupně klesají, nikoliv však monotónně. Pro některé konkrétní hodnoty modulačního indexu mohou jednotlivé složky zcela vymizet (hodnota funkce J_n(m_{FM}) je právě nulová). Stejně tak může vymizet i nosná vlna, platí-li, že J_0(m_{FM}) = 0. Vzhledem ke klesajícím hodnotám amplitud jednotlivých složek klesá jejich vliv na kvalitu přenosu. Pro dostatečně kvalitní přenos pak stačí přenášet pouze několik prvních postranních frekvencí. Kolik je jich v konkrétním případě třeba závisí na modulačním indexu a přípustné degradaci přenášeného signálu. Pro kvalitní přenos je třeba modulační index zhruba 3 až 5. Nižší způsobuje větší zkreslení, vyšší zhoršuje odstup signál / šum. Pro zlepšení šumových poměrů se při FM přenosu běžně používá nadzvednutí vyšších frekvencí modulačního spektra (nízkofrekvenční preemfáze a deemfáze).

Potřebná šířka přenosového pásma je závislá na modulačním indexu m_{FM}. Pro hodnotu m_{FM} = 5 se uvádí následující empirický vzorec:

B \geq 2 (\Delta f + f_{max})\,
kde \Delta f je frekvenční zdvih a f_{max} je maximální modulační frekvence.

Využití[editovat | editovat zdroj]

FM je běžně využívána v pásmu VHF pro kvalitní přenos zvuku. Zvuk u klasických analogových televizních soustav je také přenášen za použití frekvenční modulace, pro komerční i radioamatérské komunikační účely je využívána její úzkopásmová forma. Dalším využitím je FM syntéza, která získala oblibu díky raným syntezátorům a stala se standardním způsobem syntézy zvuku u několika generací zvukových karet. Bez FM by se taktéž neobešel analogový magnetický záznam obrazu, kde je s malým modulačním indexem používána pro snížení oktávového rozsahu zaznamenávaného signálu, a to z cca 18 oktáv na méně než 3 oktávy.

Parametry některých aplikací FM[editovat | editovat zdroj]

Služba f_{max} \Delta f m_{FM}
FM rozhlas mono 15 kHz 75 kHz 5
FM rozhlas stereo 53 kHz 75 kHz 1,42
TV zvuk 15 kHz 50 kHz 3,33
Komunikační účely < 0,5

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu

Související články[editovat | editovat zdroj]