Besselova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Besselovou funkcí je označováno řešení Besselovy rovnice

z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + (z^2 - \nu^2)w(z) = 0

pro libovolné reálné číslo \nu, které je označováno jako řád Besselovy funkce.

Cylindrické funkce[editovat | editovat zdroj]

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkce[editovat | editovat zdroj]

Není-li \nu celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

w(z)= c_1 J_\nu(z) + c_2 J_{-\nu}(z),

kde J_\nu(z) a J_{-\nu}(z) jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a c_1, c_2 jsou libovolné konstanty.


Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.


Besselova funkce řádu \nu je definována vztahem

J_\nu(z) = {\left(\frac{z}{2}\right)}^\nu \sum_{k=0}^\infty \frac{{(-1)}^k}{{k!}\Gamma(\nu+k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k},

kde \Gamma(x) je gama funkce.


Je-li \nu=n celé číslo, pak platí

J_{-n}(z) = {(-1)}^n J_n(z),

výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro n=0,1,2,... lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

J_n(z) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(z \sin\theta - n\theta)\mathrm{d}\theta

Platí následující rekurentní vztahy

2\nu J_\nu(z) = z J_{\nu-1}(z) + z J_{\nu+1}(z)
2 J_\nu^\prime(z) = J_{\nu-1}(z) - J_{\nu+1}(z)
z J_\nu^\prime(z) = \nu J_\nu(z) - z J_{\nu+1}(z)
z J_\nu^\prime(z) = -\nu J_\nu(z) + zJ_{\nu-1}(z)


Neumannova funkce[editovat | editovat zdroj]

Je-li \nu=n celé číslo, pak J_n(z) a J_{-n}(z) nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

w(z) = c_1 J_n(z) + c_2 N_n(z),

kde N_n(z) je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná \nu=n definovány vztahem

N_n(z) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(z)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}

Pro \nu různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

N_\nu(z) = \frac{J_\nu(z)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}


Je-li \nu=n celé číslo, pak platí

N_{-n}(z) = {(-1)}^n N_n(z)


Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

J_\nu(z) N_{\nu+1}(z) - J_{\nu+1}(z) N_\nu(z) = -\frac{2}{\pi z}


Platí následující rekurentní vztahy

2\nu N_\nu(z) = z N_{\nu-1}(z) + z N_{\nu+1}(z)
2 N_\nu^\prime(z) = N_{\nu-1}(z) - N_{\nu+1}(z)
z N_\nu^\prime(z) = \nu N_\nu(z) - z N_{\nu+1}(z)
z N_\nu^\prime(z) = -\nu N_\nu(z) + zN_{\nu-1}(z)

Hankelova funkce[editovat | editovat zdroj]

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce H_\nu^{(1)}(z) a H_\nu^{(2)}(z), které jsou definovány jako

H_\nu^{(1)}(z) = J_\nu(z) + \mathrm{i}N_\nu(z)
H_\nu^{(2)}(z) = J_\nu(z) - \mathrm{i}N_\nu(z)

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Sférické cylindrické funkce[editovat | editovat zdroj]

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + 2z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + \left[z^2 - l(l+1)\right]w(z)=0

pro celá nezáporná l.


Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

j_l(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{l+\frac{1}{2}}(z)

a sférickou Neumannovu funkci

n_l(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} N_{l+\frac{1}{2}}(z) = {(-1)}^{l+1}\sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{-l-\frac{1}{2}}(z),

kde J_n jsou Besselovy funkce a N_n jsou Neumannovy funkce.


Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

j_l(z)n_{l+1}(z) - j_{l+1}(z)n_l(z) = -z^{-2}


Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

h_l^{(1)}(z) = j_l(z) + \mathrm{i}n_l(z)
h_l^{(2)}(z) = j_l(z) - \mathrm{i}n_l(z)


Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

j_l(z) = {(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\sin z}{z}
n_l(z) = -{(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\cos z}{z}
h_l^{(1)}(z) = -\mathrm{i}{(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{z}

Lze ukázat, že platí

j_l(-z) = {(-1)}^l j_l(z)
n_l(-z) = {(-1)}^{l+1} n_l(z)
h_l^{(1)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(2)}(z)
h_l^{(2)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(1)}(z)

Modifikovaná Besselova funkce[editovat | editovat zdroj]

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} - (z^2 + \nu^2)w(z) = 0

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu[editovat | editovat zdroj]

Není-li \nu celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

w(z) = c_1 I_\nu(z) + c_2 I_{-\nu}(z),

kde I_\nu(z) je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

I_\nu(z) = {\left(\frac{z}{2}\right)}^\nu \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{{k!}\Gamma(\nu+k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

I_\nu(z) = \mathrm{i}^{-\nu} J_\nu(\mathrm{i}z)

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu[editovat | editovat zdroj]

Pro celá \nu=n platí

I_{-n}(z) = I_n(z)

Pro celá n tedy nejsou I_n(z) a I_{-n}(z) lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

w(z) = c_1 I_n(z) + c_2 K_n(z),

kde K_n(z) je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé \nu je definováno

K_\nu(z) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin \nu\pi}

Pro celá \nu=n pak platí

K_n(z) = \lim_{\nu \to n} \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin \nu\pi}

Fresnelův ohyb světla na hraně[editovat | editovat zdroj]

Důležitým příkladem Besselovy funkce je Fresnelův ohyb světla na hraně.

Ohyb světla na přímé hraně.
V případě osvětlení monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou rovnoběžné s přímou hranou.
V horní části je zobrazen pozorovaný jev, a ve spodní části je rozdělení intenzity světla.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]