Binární kvadratická forma

Binární kvadratická forma je kvadratická forma s dvěma proměnnými, tedy homogenní mnohočlen stupně dva ve dvou proměnných, neboli funkce

$q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},$

určená hodnotami koeficientů a, b a c.

Koeficienty binární kvadratické formy mohou být z nějakého tělesa (např racionální čísla nebo reálná čísla) a parametrem pak může být vektor z vektorového prostoru nad tímto tělesem. Rozvoj teorie binárních kvadratických forem je ovšem spjat především s rozvojem teorie čísel, kdy se uvažovaly rovnice v celých číslech, souvisí s kvadratickými tělesy a obecněji i s číselnými tělesy.

Dějiny

Binárními kvadratickými formami se zabýval už Pierre de Fermat a to v souvislosti s Fermatovou větou o dvou čtvercích, tedy studiem možnosti zápisu čísel jako součtu dvou čtverců. Podobně lze za součást studia binárních kvadratických forem považovat studium Pellovy rovnice. Pak začal zkoumat binární kvadratické formy Joseph Louis Lagrange v roce 1773 a systematicky je pojednal poprvé Adrien-Marie Legendre. Mohutně na jejich práci navázal Carl Friedrich Gauss ve své práci Disquisitiones Arithmeticae. Ten už zkoumal otázku jejich ekvivalence a redukce a také přišel s jejich skládáním. Jeho práce pak ovlivnily rozvoje teorie kvadratických forem ve více než dvou proměnných a také rozvoj algebraické teorie čísel, ve které jsou kvadratická tělesa nahrazovány obecnějšími číselnými tělesy.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Binary quadratic form na anglické Wikipedii.