Bernoulliho rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o mechanice tekutin. O diferenciální rovnici pojednává článek Bernoulliova rovnice.

Bernoulliho rovnice je vztah užívaný v mechanice tekutin, který odvodil Daniel Bernoulli a který vyjadřuje zákon zachování mechanické energie pro ustálené proudění ideální kapaliny (Energie je v rovnici přepočtena na objemovou jednotku kapaliny.).

\frac{1}{2} \rho v^2 + p + \rho u(\mathbf{x}) = \mathrm{konst.}

kde \rho je hustota kapaliny, v je rychlost proudění, p je tlak v kapalině a u je potenciál vnějšího konzervativního pole mechanické síly (gravitační síly, unášivé setrvačné síly nebo jejich kombinace jako je tíhová síla) v daném bodě. První člen v Bernoulliho rovnici se nazývá dynamický tlak a představuje objemovou hustotu kinetické energie, druhý člen představuje tlakové potenciální energii objemové jednotky kapaliny a třetí člen potenciální energii objemové jednotky kapaliny v silovém poli vnější konzervativní mechanické síly, v němž se kapalina nachází. Součet kinetické energie a potenciální energie (tlakové + vnější) je ve všech místech trubice stejný. Tato rovnice bývá často uváděna ve tvaru, který platí pro tíhové či homogenní gravitační pole:

\frac{1}{2} \rho v^2 + p + \rho g h = \mathrm{konst.}

Platí, že pokud na kapalinu v klidu působí tíhová síla, je ve stejné hloubce v každém bodě stejný tlak. Pokud je kapalina v pohybu tak tento vztah neplatí. Slovy můžeme Bernoulliho jev popsat takto: v místě s větším průřezem má proudící kapalina větší tlak, ale menší rychlost, zatímco v místě s menším průřezem má menší tlak, ale větší rychlost (Fakt, že při větším průřezu je rychlost kapaliny menší je důsledkem rovnice kontinuity.).

Odvození pro nestlačitelnou kapalinu[editovat | editovat zdroj]

Diagram k odvození Bernoulliho rovnice

Pokud kapalina o jednotkové hmotnosti m proudí ve vodorovné trubici o průřezu S rychlostí v, platí pro ni pohybová rovnice:

\mathrm{d}m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -\mathrm{d}F.

Rozepíšeme tuto rovnici tak, aby v ní vystupovala hustota a průřez trubice

\rho S \,\mathrm{d}x \,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -S\,\frac{\mathrm{d}F}{S}=-S\,\mathrm{d}p.

S využitím vztahu

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}
= \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right)

tato rovnice přejde na

\rho S \,\mathrm{d}x \,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right) = -S\,\mathrm{d}p,

tedy

\rho \,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}+p\rho^{-1}\right) = 0,

což zintegrováním dá

\rho \frac{v^2}{2}+ p = \mathrm{konst.}

Pokud se navíc nacházíme v potenciálu nějaké vnější konzervativní mechanické síly (např. gravitace), přičteme tento potenciál \rho u k tlakovému potenciálu, čímž přímočaře získáme rovnici

\rho \frac{v^2}{2}+ p + \rho u(\mathbf{x}) = \mathrm{konst.}

Poněkud přímější odvození vychází ze zákona zachování energie. U kapalin uvažujeme potenciální energii tlakovou Ep = pV.

Za předpokladu, že Ek + Ep + Eg = konst., potom platí

\frac12 m v^2 + p V + m g h= \mathrm{konst.}

vztažením energie na jeden kilogram tekutiny (vydělením hmotností) dostaneme tzv. energetický tvar rovnice:

\frac12 v^2 + {pV\over m} +  g h = \mathrm{konst.}

nebo tlakový tvar:

\frac12 \rho v^2 + p + \rho g h= \mathrm{konst.}

případně výškový tvar:

{v^2\over 2g} + {p\over \rho g} +  h= \mathrm{konst.}

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Z Bernoulliho rovnice vyplývá, že tlak proudící kapaliny klesá s rostoucí rychlostí. Pokud plyn proudí trubicí dostatečnou rychlostí, tlak v tom místě se natolik zmenší, že toho lze využít například pro odsávání. Tomuto jevu se říká hydrodynamický paradox (hydrodynamické paradoxon) a využívá se ho například u rozprašovačů, natěračských pistolí nebo v karburátoru.

Výtoková rychlost

Ze zákona zachování energie lze také odvodit vztah pro výtokovou rychlost kapaliny při vytékání z nádoby s hladinou ve výšce h. Neboť lze říci, že výtoková rychlost kapaliny je stejná jako rychlost, kterou by kapalina získala při volném pádu z výšky h:

v = \sqrt{2gh}

Související články[editovat | editovat zdroj]