V lineární algebře se dokazují dvě užitečná tvrzení svazující dimenze jistých podprostorů vektorového prostoru. Mějme vektorový prostor V nad nějakým tělesem. První tvrzení dává do souvislosti dimenze dvou vektorových podprostorů prostoru V a dimenzí jejich součtu a průniku - tzv. první věta o dimenzi zvaná též věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů. Druhé tvrzení pak udává vztah mezi dimenzemi jádra a oboru hodnot libovolného lineárního zobrazení (konečněrozměrného) mezi dvěma vektorovými prostory - tzv. druhá věta o dimenzi, nazývaná také věta o dimenzi jádra a obrazu.
Nechť
je vektorový prostor nad tělesem
. Dále nechť
a
jsou podprostory prostoru
konečných dimenzí, tj.
,
a
,
. Pak platí
![{\displaystyle \dim(P+Q)+\dim(P\cap Q)=\dim P+\dim Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462d46a76dba6a0d5c936495c19b22f40df4cfc7)
Pro direktní součet podprostorů pak speciálně
![{\displaystyle \dim(P\oplus Q)=\dim P+\dim Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985316482a8d20d59229bdfa4856f8ee1842f187)
Pokud je
podprostor prostoru
, tj.
, tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak
,
a
,
. Totožně by se postupovalo, byl-li by
podprostorem
. Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží nulový vektor, můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik
a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože průnik podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik
a
je netriviální podprostor. Z konečnosti dimenzí
a
musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť
. V
tedy existuje
-členná báze
. Nechť
a
. Je zřejmé, že
. Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů
a
. Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože
a
, lze zřejmě doplnit bázi průniku
jednak na bázi prostoru
, jednak na bázi prostoru
. Označme bázi prostoru
a prostoru
po řadě
![{\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{P},\ldots ,{\vec {e}}_{p-n}^{P}\},\quad \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{Q},\ldots ,{\vec {e}}_{q-n}^{Q}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e07ee01e1afc0b42f593f876a1c04e58ac9f128)
kde jsme vektory
, resp.
, doplnily bázi průniku na bázi prostoru
, resp.
.
Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů
(součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů
![{\displaystyle {\mathcal {E}}=\{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{P},\ldots ,{\vec {e}}_{p-n}^{P},{\vec {e}}_{1}^{Q},\ldots ,{\vec {e}}_{q-n}^{Q}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0485d5378bfa0077f12458ad16e0e89189b099c)
je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor
a současně musí být lineárně nezávislá. První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor
![{\displaystyle {\vec {0}}=\alpha _{1}{\vec {e}}_{1}+\ldots +\alpha _{n}{\vec {e}}_{n}+\beta _{1}{\vec {e}}_{1}^{P}+\ldots +\beta _{p-n}{\vec {e}}_{p-n}^{P}+\gamma _{1}{\vec {e}}_{1}^{Q}+\ldots +\gamma _{q-n}{\vec {e}}_{q-n}^{Q}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}+\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4b351cdc4f5ed95f8a89b561890f2533200f0c)
Chceme ukázat, že všechny koeficienty
už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}=-\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a106e334c6c3b6975cddd122d57fe055a2022db)
Na levé straně máme vektor z prostoru
, na druhé straně rovnosti pak vektor z
. Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku
. Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225a2c1b3a47fbb68e45dc8d7653fbcffcbe5e1a)
pro jisté koeficienty
. Dostáváme tak dvě rovnosti
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}=\sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i},\quad \sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i}=-\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd1ecbb6f8dc99a266afae2864874daba03b940)
které si můžeme zapsat způsobem
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}){\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}={\vec {0}},\quad \sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}={\vec {0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f073091cad80d59c2d308eb7f1270449da7c7ff4)
První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru
rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru
. Máme tedy
![{\displaystyle (\forall i\in \{1,\ldots ,n\})(\alpha _{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}=0)\ \wedge \ (\forall i\in \{1,\ldots ,p-n\})(\beta _{i}=0),\quad (\forall i\in \{1,\ldots ,n\})({\tilde {\alpha }}_{i}=0)\ \wedge \ (\forall i\in \{1,\ldots ,q-n\})(\gamma _{i}=0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05396e767b9e188b0aa2aee3fddd5ddeb3ce1924)
Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina
je bází prostoru
. Protože tato báze obsahuje
vektorů, máme
. Celkově
![{\displaystyle \dim(P+Q)+\dim(P\cap Q)=(p+q-n)+n=p+q=\dim P+\dim Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e90955f6a3e1956d6adb79bb3f73b2e7f7c7c0)
což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy
. (To je ekvivalentní tomu, že součet prostorů
a
je direktní.) Platí tedy
. Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že
Uvažujme vektorový prostor
s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva lineární obaly tvaru
![{\displaystyle P=\left\{{\begin{pmatrix}2\\0\\3\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\\3\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\2\\0\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}},\quad Q=\left\{{\begin{pmatrix}3\\1\\3\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\3\\0\\0\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f93976c9c9d521f8d3eec64c4a217df6c4ba22)
Není těžké ukázat, že generátory lineárního obalu
(tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. Dimenze podprostoru
je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal
. Z první věty o dimenzi plyne, že
![{\displaystyle \dim P+\dim Q=3+3=6=\dim(P+Q)+\dim(P\cap Q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78028dc2cd97e06e7425550fdc48b77e7cee6e98)
Protože je ale součet
stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru
, nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik
je podprostor dimenze alespoň jedna. Existuje tedy nenulový vektor ležící v
a současně v
. Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů
a
, aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.
Nechť
a
jsou dva vektorové prostory nad stejným číselným tělesem
a nechť
je lineární zobrazení prostoru
do prostoru
, tj.
. Dále nechť
má konečnou dimenzi, tj.
. Pak platí vztah
![{\displaystyle \dim \ker A+\dim {\text{ran}}\,A=\dim P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1366613e26c0447af57bdb73b374faf8cc7705)
kde
značí jádro zobrazení A a
jeho obor hodnot.
Označme si
. Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. To znamená, že kdyby v množině
(tj. vzoru prostoru
při zobrazení
) bylo více než
lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru
, což je spor s tím, že dimenze
je
. Dimenze obrazu zobrazení
je tedy konečná a není větší než
. Označme si tuto dimenzi jako
. V
tedy existuje
-členná báze, označme si bazické vektory jako
. Vektory
z prostoru
takové, že
(tj. vzory
při zobrazení
) tvoří
-člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v
. Jejich lineární obal tedy tvoří
-rozměrný podprostor prostoru
, označme si ho jako
. Platí tedy
, kde
![{\displaystyle Q=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}\}_{\text{lin}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f63cb3ebc4cf5833cc0f3664d5fce405f1c486f)
Navíc víme, že jádro lineárního zobrazení též tvoří podprostor, tj.
. Ukážeme nejprve, že součet těchto podprostorů je roven celému prostoru
a že tento součet je navíc direktní. Neboli
![{\displaystyle \ker A\oplus Q=P.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabebea4ebb03caef62396533f16fa4c40302611)
Dokažme nejdříve inkluzi zleva doprava, tzn. že
. To je ale zřejmé z konstrukce. Ukažme tedy opačnou inkluzi. Mějme nějaký libovolně zvolený vektor
a najděme jeho rozklad do podprostorů
a
. Hledáme tedy vektory
a
takové, že
. Protože
má ležet v jádru
, platí
. Existují tedy koeficienty z tělesa
takové, že
![{\displaystyle A{\vec {x}}=A{\vec {q}}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {y}}_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e524fbdf350fb2750ffd4cc7efca1102ede0c0ec)
Navíc
, takže
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {y}}_{i}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}A{\vec {x}}_{i}=A\left(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {x}}_{i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dbe9101eeeb8954fc19a444c5cb01f5d96ad1e)
Za vektor
tedy můžeme zvolit
![{\displaystyle {\vec {q}}\equiv \sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {x}}_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bf4961ab0e214fa3863568fdb9bc3a1938740c)
Vektor
pak vznikne jako rozdíl
![{\displaystyle {\vec {r}}\equiv {\vec {x}}-{\vec {q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e772789bd49c7e36bfee1c01e057c78487b34b)
Pro libovolný vektor
jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů
a
.
Nyní ukažme, že se jedná o direktní součet. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů
a
leží jen nulový vektor, tj.
. Vezměme tedy nějaký vektor
z průniku
. Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože
, je určitě
. Existuje tedy
-tice koeficientů
z tělesa taková, že
![{\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}{\vec {x}}_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a361a353dc0c42992dc046efec4ad34de518fb38)
Protože je
současně z jádra
, tak
![{\displaystyle A{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}A{\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}{\vec {y}}_{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f538a3318b59da27e459a10f256edfdd48e8b5)
Neboť jsou vektory
lineárně nezávislé, jsou všechny koeficienty
nulové a platí tedy
.
Zatím jsme tedy dokázali rovnost
![{\displaystyle \ker A\oplus Q=P.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabebea4ebb03caef62396533f16fa4c40302611)
Nyní můžeme použít první větu o dimenzi, z níž vyplývá
![{\displaystyle \dim \ker A+\dim Q=\dim(\ker A\oplus Q)=\dim P.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c587b99b9a7f814185c5baae59de0f76ae1ed2)
Podprostor
má ale stejnou dimenzi jako množina
. Dostali jsme tedy tvrzení věty.
Uvažujme reálný konečněrozměrný vektorový prostor
a k němu prostor duální, nechť
. Mějme
, funkcionál z duálního prostoru, a nechť
je vektor takový, že
. Protože
je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa
, což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna,
. Neboť je
zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze jádra funkcionálu
je
![{\displaystyle \dim \ker f=\dim V-\dim {\text{ran}}\,f=n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc82acf2116aed2e663c51eb6430b92d7260cce)
Jádro zobrazení
tedy tvoří
-rozměrný podprostor prostoru
. Z toho tedy vidíme, že jediné vektory, na které
nedá nulu, jsou násobky vektoru
, neboli jeho lineární obal
.
- PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8. – skripta FJFI ČVUT