Vágnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Vágnost (rozmazanost, mlhavost, neurčitost) je primárně filtrem přirozeného lidského poznání, další úlohy vágnosti jsou z něj odvozeny, jsou sekundární. Schopnost poznání je základní přírodní výbavou člověka (a jiných tvorů) umožňující mu orientaci a přežití v reálném světě. Úlohou poznání je, z gnozeologicky infinitní (nekonečně rozsáhlé a hluboké) reality člověku získat její kognitivní (znalostní, poznatkový) model, obsahující konečné množství informace. Pro tento účel musí tedy existovat filtr provádějící selekci a tak redukci informace. Je jím vágnost (Bertrand Russell)[1], s níž při poznávání vnímáme a pak si pamatujeme informaci o reálném světě. Některé s menší vágností, jiné s větší, podle vzdálenosti od centra člověkem (během poznávání) zaujaté pozornosti. Jiné než vágní znalosti člověk svým přirozeným poznáním není schopen získat. Je třeba rozeznávat kognitivní model vnitřní tj. vnitropsychický, uchovávaný a zpracovávaný v lidském vědomí (a asi i nevědomí), v hypotetických vnitřních jazycích: představovém, pocitovém a přirozeném a v jejich směsici, a dále pak vnější model, reprezentovaný ve vhodném vnějším sdělovacím jazyce.


Vágnost vnitřní a vnější[editovat | editovat zdroj]

O svých inherentně vágních poznatcích (vnitropsychickém kognitivním modelu reprezentovaném v hypotetických vnitropsychických jazycích) je člověk schopen vypovídat přirozeným (obecně neformálním jazykem, např. esperanto) a to samozřejmě pouze vágně[2]. Vágnost znalostí zapříčiněná filtrem poznání je primární, říkáme jí vnitřní. Vágnost následné výpovědi člověka je sekundární. Touto výpovědí (transformací z vnitropsychických jazyků do vnějšího komunikačního - říká se jí formulace, viz konotace a tam sémantický trojúhelník) nelze odkrýt veškerý obsah osobního vnitropsychického kognitivního modelu s veškerou jeho inherentní vágností. Tu, která je obsažena v jazykové výpovědi, označujeme jako vnější vágnost[3],[4],[5]. Pokud by člověk neměl schopnost sdělovat a ponechával by si tak veškeré své znalosti pouze pro sebe, vnější vágnost by neexistovala, neboť je to vágnost vnějšího sdělovacího jazyka.

Sekundární úlohy vágnosti[editovat | editovat zdroj]

♦ Přirozené poznání je subjektivní, takže jeden člověk prohlásí jako svoji výpověď o poznaném: dnes je nádherný den; a druhý o tomtéž: dnes je úmorné horko. Každý z nich má své subjektivní hledisko a subjektivní vnímání. V běžném životě a v popisných vědách chápeme výpověď vždy s jistou vágností a jsme s tím vnitřně smířeni jako s nevyhnutelností. Pravda či nepravda může být tedy chápána jen a jen vágně. Je to právě vágnost použitého jazyka, která tlumí rozpor mezi poněkud se lišícími výpověďmi o poznání téže entity reálného světa různými jedinci. Lidská komunikace je proces se zpětnou vazbou a jak víme z principů zpětné vazby např. v automatickém řízení, je třeba zajistit stabilitu procesu. Vágnost jazyka zde má úlohu stabilizačního faktoru, kdy iritující diference mezi subjektivními poznatky různých jedinců o téže entitě je do jisté míry otupena vágností sdělení.

♦ Vágnost ve sdělení má ještě další funkci a tou je vyladění - optimalizace pravdivosti sdělení – nejmenší ztráta informace[6]. Vnáší-li sdělující do sdělení větší vágnost, než odpovídá jeho poznání (zdroji informace), ošizuje adresáta o informaci. Na druhou stranu, zmenšuje-li vágnost sdělení oproti vágnosti svého poznání, „vymýšlí si“ a znehodnocuje předávanou informaci. Optimalizace pravdivosti sdělení adekvátní vágností tak trochu připomíná analogii s impedančním přizpůsobením vedení v elektrických obvodech a říká: sdělení má mít stejnou vágnost jakou má informace získaná poznáním. Extrémní případ nastává, jestliže požadujeme odbourat vnitřní vágnost ve sdělení zcela, pak ovšem musí být nejprve zcela odbourána v poznání (zdroji informace) a toho, jak víme, lze dosáhnou pouze Newtonovým umělým poznáním.

♦ Vágnost (ve vědě spíš chápaná jako nějaký vhodný typ neurčitosti) plní ještě další úlohu, a tou je možnost rozšíření poznání a tak i sdělování o poznaném, za cenu toho, že v získané informaci připustíme větší míru neurčitosti. (Viz dále Vyjadřovací síla jazyka v závislosti na vágnosti.) Příkladem je třeba ve fyzice rozšíření deterministického pohledu na reálný svět na pohled stochastický, bez kterého by fyzika ustrnula na poznatcích doby I. Newtona.

Když vnitřní vágnost vadí[editovat | editovat zdroj]

Vnitřní vágnost sdělení jednoho člověka je pro druhého člověka utajená, může jí jen tušit, odhadovat. S vnitřní vágností (v interpretaci jazykové konstrukce, primárně tedy ve vnitropsychickém kognitivním modelu sdělujícího člověka – zdroje informace) se buď musíme smířit, což je lidské, nebo se můžeme pokusit ji zmenšovat, případně zcela odstranit, což je vědecké. Nároky na přesnost formulace vědeckých poznatků a jejich sdělování vyžadují minimalizovat vnitřní vágnost, s níž člověk konotuje (vágně, emocionálně a subjektivně interpretuje) jazykové konstrukce sdělovacího jazyka, a takto zlepšovat přesnost sdělení. Nejrůznější vědecké postupy mají za cíl zkvalitňovat důvěryhodnost a přesnost získaných vědeckých poznatků. Pro jejich formulaci je však třeba budovat přesnější jazyk, s menší vágností sdělení, než je běžné v denním životě. Slouží k tomu účelově (oborově) budovaná názvosloví umožňující přesněji popsat zkoumanou realitu a získané znalosti o ní. Lidé vzdělaní v oboru názvosloví znají s malou vnitřní vágností, tedy dost přesně vědí, co jednotlivé pojmy znamenají. Základní pojmy jsou vždy tvořeny na základě konsensu, odvozené z nich pak definicí. Ke zlepšení přesnosti bádání a sdělování (snižování vnitřní vágnosti konotace) slouží i nástroje typu klasifikačních schémat např. taxonomie organizmů, jejímž autorem je Carl von Linné.

Potřeba snížit vnitřní vágnost až do extrému, tedy nuly, byla uskutečněna I. Newtonem. Je to epochální myšlenka, a je třeba vysvětlit, jak může být uskutečněna. Z výše uvedené optimalizace pravdivosti sdělení plyne, že požadujeme-li odbourat vnitřní vágnost ve sdělení zcela (anulovat ji), pak ovšem musí být nejprve zcela odbourána v poznání (zdroji informace). Znamená to, že se musíme vyhnout vniku vnitřní vágnosti, tedy zvolit jiný filtr poznání, než je vágnost. Tím přecházíme z přirozeného lidského světa, do světa umělého. Říkáme mu svět exaktní, a vysvětlíme proč. U přirozeného jazyka nelze zcela odstranit (anulovat) vnitřní vágnost, lze však vybudovat umělé formální jazyky (matematika, formální logiky, programovací jazyky), které mají vnitřní vágnost konotace nulovou (tak mají exaktní interpretaci) a jinou mít z principu nemohou. A nyní slíbené vysvětlení. Jazyky s nulovou vnitřní vágností konotace, tedy významu svých jazykových konstrukcí, mají tu vlastnost, že veškeré tyto konstrukce jsou každým patřičně vzdělaným člověkem, chápány s naprosto přesným, tedy exaktním významem. To je důvod, proč jsou součástí exaktního světa. Máme tedy jazyk, který je schopen zapisovat (reprezentovat) znalosti s nulovou vnitřní vágností. Ty však nejdříve musí být získány odpovídajícím poznáním, poskytujícím znalosti rovněž s nulovou vnitřní vágností, tedy rovněž z exaktního světa. A již je zřejmé, že jsme na cestě zrodu vědecké metody tvořící vědu náležející do exaktního světa, tedy rodí se exaktní věda. Ještě je třeba vysvětlit, jak uskutečnit exaktní poznání, tedy poznání, kdy znalosti získané z reálného světa jsou součástí exaktního světa. Zázračný most mezi reálným a exaktním světem, který to umožňuje, se jmenuje veličina (např. intenzita elektrického pole, rychlost, koncentrace kyseliny dusičné, atp.). Je společná oběma zmíněným světům, neboť v exaktním světě je exaktně vytyčena (každý vědoucí člověk bez nejmenších pochyb ví, co znamená, tedy jaký má význam), a v reálném světě je elementární měřitelnou sondou do něho, a tak jeho elementárním měřitelným zástupcem. Je elementárním stavebním kamenem exaktní vědy. V exaktních vědách je vždy přesně vymezena a to buď konsensuálně (základní množina - Základní fyzikální veličiny), nebo definitoricky (odvozené - Odvozená jednotka SI). V tomto duchu píše I. Newton ve svém díle Philosophiae Naturalis Principia Mathematica v roce 1687. V současné době celosvětově zavedená soustavy veličin SI (z franc. Système international d'unités). A jak je to s tím umělým filtrem, který umožňuje vyhnout se vnitřní vágnosti? Pro každý problém reálného světa, který má být uchopen exaktní vědou, je třeba zvolit skupinu vhodných veličin, nalézt přírodní zákonitosti, které v reálném světě mezi nimi platí, a ty popsat matematickým jazykem. Dostáváme tak matematický znalostní (kognitivní) model dané části reálného světa. Skupina vybraných veličin tvoří diskrétní Newtonův filtr (síto), kterým se na danou část reálného světa díváme. Tak je v exaktní vědě daná část reálného světa zastoupena skupinou vhodně zvolených veličin a matematicky (programovacím jazykem) popsanými vztahy mezi nimi (přesněji mezi jejich jmény – symboly je označujícími). I exaktní věda musí mít nástroj, kterým může popsat neurčitost získaných výsledků - znalostí, ať už z nutnosti, či z potřeby opustit přílišnou přesnost. Jelikož vnitřní vágnost to být nemůže (nesmí), může použít pouze jazykově uchopitelnou nejistotu (vnější vágnost), a pro ten účel je k dispozici popis fuzzy nebo stochastickými hodnotami veličin, a fuzzy či stochastickými vztahy mezi veličinami.

Umělý formální jazyk přináší exaktní vědě ještě navíc silný nástroj (pro zpracování informace), kterým je formální odvozování (inference) známé z matematiky, viz Exaktní věda výklad a Příklad inference ve formálním systému. Exaktní věda poskytuje nedůvěryhodnější znalosti. Jistě je možno nastolit otázku, zda veškerá věda může být přetvořena na exaktní vědu. Odpověď je nemůže. Podmínkou pro ustavení exaktní vědy je nalezení vhodných veličin, a to lze jen pro nepatrnou část reálného světa a pro specifické pohledy na něj. Jinak řečeno, filtr vágnosti umožňuje vágně znát mnohé, diskrétní filtr umožňuje exaktně znát nemnohé. To z reálného světa, co umíme poznat exaktní vědou, tedy zavést veličiny a rozpoznané přírodní zákonitosti mezi nimi zapsat umělým formálním jazykem (matematika, formální logiky, programovací jazyky), jsme schopni modelovat na počítači.

Myšlenka vypořádat se s vnitřní vágností, je jistě pro vědu z hlediska poznání reálného světa přelomová. Též umožnila typologicky rozdělit nástroje na zpracování informace na lidský (lidskou psýchu), v němž je zpracovávaná informace inherentně svázaná se svojí (vnitřní) vágností a na umělý exaktní (matematika, formální logiky, programovací jazyky - tedy algoritmické zpracování) se zakázanou (nulovou) vnitřní vágností. Jsou to tedy z hlediska typu zpracovávané informace mimoběžné světy.

Dva typy znalostí, mezi nimiž je propast[editovat | editovat zdroj]

Mezi znalostmi získanými přirozeným poznáním a znalostmi získanými poznáním metodou exaktních věd, je kvalitativní propast. V prvém případě se na svět díváme filtrem vágnosti, v druhém případě filtrem „dírkovaným“, dírkami „vidíme“ veličiny a parametry) - elementární měřitelné manifestace reálného světa a vztahy mezi nimi, a nic jiného. Newton „digitalizoval“ přirozený vágní pohled člověka na reálný svět. Inherentně vágní znalosti získané přirozeným poznáním lze sdělovat (reprezentovat, popsat) jen a jen neformálním jazykem, nejčastěji přirozeným. Znalosti získané umělým poznáním lze reprezentovat umělým formálním jazykem (matematika, logika, programovací jazyky).

Vnější vágnost a její modelování[editovat | editovat zdroj]

Jazykově lze uchopit (modelovat) pouze vágnost vnější. Vnitřní vágnost modelovat neumíme, je součástí vnitropsychického modelu. Neformální jazyky, např. přirozený jazyk, neumožňují rozlišit vnitřní a vnější vágnost striktně, ale pouze s mlhavou, vágní hranicí.[7],[8]. Naštěstí však tyto jazyky používají vhodné znejisťující a znepřesňující jazykové konstrukce (např. neurčité kvantifikátory ASI, NEJSPÍŠ, NĚKOLIK, MOŽNÁ atp.). Přirozenému jazyku takové kvantifikátory umožňují výrazněji a explicitněji používat vnější vágnost, a tak umožňují vnitřní vágnost částečně přesunout do vnější vágnosti. Je to cesta, jak adresáta na vágnost sdělení explicitněji upozorňovat a vágnost kvantifikovat, a zlepšovat tak porozumění v komunikaci přirozeným jazykem. Umělé formální jazyky (z principu musí mít nulovou vnitřní vágnost interpretace všech jazykových konstrukcí) mohou vnější vágnost modelovat fuzzy množinami[9] a fuzzy logikou[10], mírou důvěry[11], Bayesovou apriorní a aposteriorní pravděpodobností, nebo stochastickými veličinami a funkcemi, jak to činí exaktní vědy.

Vyjadřovací síla jazyka v závislosti na vágnosti[editovat | editovat zdroj]

V roce 1956 Noam Chomsky vytvořil hierarchii čtyř tříd formálních gramatik generujících umělé formální jazyky. Chomského hierarchie dělí formální gramatiky do tříd s rostoucí vyjadřovací silou (schopností jazyka popisovat, reprezentovat jistou množinu znalostí) – každá následná třída je schopna generovat širší skupinu formálních jazyků než předchozí třída, ne všechny třídy jsou disjunktní. Každému typu oněch gramatik odpovídá stroj – automat, od gramatiky typu 3 (regulární gramatiky) generující regulární jazyky, jíž odpovídá konečný automat, po gramatiky typu 0 (frázové gramatiky) generující rekurzivní jazyky, jímž odpovídá Turingův stroj – univerzální číslicový počítač. Všechny formální jazyky jsou vázány striktním zákazem vnitřní vágnosti, tedy vnitřní vágnost jakékoli jejich interpretace musí být nulová a tyto jazyky mohou používat pouze vágnost vnější. Na uvedenou Chomského hierarchii můžeme navázat ve smyslu jazyků s postupně se zvyšující vyjadřovací silou, avšak nyní neformálními jazyky, u nichž zákaz vnitřní vágnosti neplatí. Vnitropsychické jazyky (velká vágnost znalostí – nejvyšší vyjadřovací síla) jsou schopny reprezentovat větší množinu znalostí než přirozený jazyk (menší vágnost znalostí než vnitropsychické jazyky) – některé znalosti člověkem běžně a úspěšně používané, jsou nesdělitelné. Důvod i s příkladem je podrobně uveden v[12]. Jen část poznaného je člověk schopen transformovat do přirozeného jazyka (sdělovat). Přirozený jazyk je schopen reprezentovat větší množinu znalostí než umělý formální jazyk (nulová vnitřní vágnost)[13]. Toto porovnání jazyků vypovídá o rozdílných schopnostech člověka a stroje (automatu, počítače popsaného příslušnou Chomského gramatikou), co do možné šíře záběru poznání a zpracování poznané informace. Diskrétní filtr poznání velice omezuje oblast poznání. Filtr vágnosti umožňuje vágně znát mnohé, diskrétní filtr umožňuje exaktně znát nemnohé. V následujícím obrázku je zobrazena hierarchie jazyků se zvyšující se vyjadřovací silou v závislosti na zvyšující se vágnosti. V množině označené Formální jazyk, se nalézá Chomského hierarchie jazyků.

Hierarchie jazyků

Je reálný svět vágní?[editovat | editovat zdroj]

Lze se setkat s názory některých badatelů, že reálný svět je vágní. V tomto směru je třeba si všimnout jak poznání, tak jazyka, který je poznané schopen zaznamenat – reprezentovat. Mnozí z nich zapomínají na to, že mezi věděním člověka o reálném světě a reálným světem samým, je jediný most a tím je akt poznání, o nepoznaném nic nevíme. Vlastnosti reálného světa, je člověk schopen hodnotit pouze prostřednictvím poznání. Typy poznání jsou dva: poznání přirozené a umělé Newtonovo. Jazyk navazující na poznání musí odpovídat typu poznání, vyjadřovací sílou a mírou neurčitosti.

K poznání.

Víra, že zápas s neurčitostí lze vyhrávat stálým zlepšováním zobrazovacích nástrojů a metod reality, zlepšováním přesnosti měření a technologie výroby, byla vyvrácena formulací Heisenbergova principu neurčitosti (1927). Příroda v něm lidskému poznání říká: dost, dál tě člověče, nepustím. Heisenbergův princip neurčitosti říká, že existují vzájemně svázané dvojice veličin (říká se jim konjugované), pro které platí, že čím přesněji poznáme hodnotu jedné veličiny, tím méně přesně můžeme změřit hodnotu druhé veličiny. Např. pro dvojici hybnosti p a polohy x (délková souřadnice) libovolného volného reálného objektu platí vztah neurčitosti:

                 ∆x * ∆p  ≥ h/4π 

kde: h je Planckova konstanta, h = 6,6262•10–34 J•s,

∆ značí interval příslušné veličiny, v němž se její hodnota může pohybovat.

Vztah říká, že součin z intervalů neurčitosti hodnot polohy x a hybnosti p, je větší, nanejvýš roven hodnotě Planckovy konstanty lomené 4π. Jinými slovy: Vztah neurčitosti říká, že nelze současně přesně poznat (určit) polohu a hybnost reálného objektu. Čím přesněji určíme hybnost, tím méně přesně určíme polohu částice a naopak. Princip neurčitosti platí v celém hmotném světě, uplatňuje se však tím významněji, čím menší hmotnost má dotyčný objekt. Fatální bariérou pro poznání se tento princip stává až pro objekty mikrosvěta (světa částic) s velmi malou hmotností, neboť Planckova konstanta je velmi malé číslo. Heisenbergův princip neurčitosti platí pro celý hmotný svět a je principem neurčitosti poznání. V makrosvětě se uplatňuje nepatrně a v mikrosvětě velevýznamně. Poznání s nulovou neurčitostí tedy neexistuje v samém principu.

Vágnost či jiná forma neurčitosti může být vlastností poznání, nelze ji přisuzovat reálnému světu, je to vlastnost mostu, který člověka s tímto světem informačně spojuje.


Ke sdělování:

Doslovnost a obraznost v komunikaci[14] jsou dva pojmy označující dva způsoby lidské komunikace. Prvý klade důraz na úlohu jazyka a jeho přesnosti, druhý na porozumění lidským vhledem a citem mezi komunikujícími, na metaforu, symboličnost. Obvykle se spojují s úlohou každé z hemisfér lidského mozku podle amerického neurologa Rogera Wolcotta Sperryho (1913 – 1994) a převahou aktivity jedné z hemisfér u toho kterého člověka. Levá hemisféra dává lidské osobnosti racionalitu, logiku, objektivistický způsob myšlení a nahlížení na svět, schopnost vědecké práce. Pravá hemisféra mu dává citovou bohatost, obrazotvornost, schopnost umělecké tvorby. U každého lidského jedince se obě hemisféry podílejí v jistých, jemu vlastních proporcích na jeho nazírání na svět, uvažování a schopnosti a způsobu sdělování. O doslovnost (konotace blížící se exaktní interpretaci) se snaží věda, a absolutní doslovnosti (nulový sémantický diferenciál, tedy exaktní interpretace) dosáhla exaktní věda. Cesta k doslovnosti vede k budování terminologických soustav. Základní pojmy jsou postaveny na konsensu, odvozené na definicích s použitím základních pojmů. V běžné lidské komunikaci se neklade velký důraz na doslovnost, jsme zvyklí na vhled a vstřícnost, symboliku slov, tedy spíš na složku obraznosti, ta více vyhovuje neodmyslitelné lidské emocionalitě.

Proč nelze říci, že reálný svět je vágní?[editovat | editovat zdroj]

Argumenty zastánců vágního světa neútočí na poznání (odstavec o principiální neurčitosti poznání je zde v záloze na vysvětlení, co kdyby …….), o něm se z nějakých důvodů nezmiňují, ale útok směřuje na nedostatky pojmů z hlediska jejich vágnosti. Jsou to spory na příklad o pojmy:

- jak je vymezen mrak

- co je ještě hromada, dva, či ještě jeden její element

- kde začíná kopec a končí rovina pod ním

- kdy můžeme říci, že měnící se barva je stále ještě červená a není již fialová

a další podobné.

Spor spočívá v tom, že tyto pojmy vznikly v každodenní komunikaci preferující složku obraznou a v takové komunikaci vágní být musí a v ní bezchybně fungují, avšak jsou podrobovány kritice z hlediska doslovnosti. Pokud se tyto pojmy zavedou z hlediska doslovnosti, tedy cestou soustavy odborných pojmů (viz výše), nebudou obsahovat onu "pobuřující" vágnost, ze které by se dalo usuzovat na vágnost reálných objektů, k nimž se tyto pojmy vztahují. Je to v oboru kybernetického modelování dávno známý problém adekvátnosti jazyka pro popis dané entity pro dané účely, který zastánci vágnosti reálných objektů opomněli. Pro adekvátnost jazyka v některých uvedených příkladech je místo přirozeného jazyka nutno použít umělý formální jazyk fyziky (matematický popis) – mrak, barva, jindy třeba jazyk geometrie.

Důležitost pojmu vágnost.[editovat | editovat zdroj]

Porozumění úloze vágnosti umožňuje pochopit principy přirozeného a umělého poznání, porozumět podstatě exaktních věd, a pochopit propastný rozdíl mezi lidským a počítačovým zpracování informace, a tak i rozeznat některé scestné postupy a úvahy v oboru Umělé inteligence[15].

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Russell B.: Vagueness
  2. Russell B.: Vagueness
  3. Křemen, J.: Notes on Vagueness of Knowledge: Fuzzy Tools
  4. Křemen, J.: Modely a systémy
  5. Křemen, J.: Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování.
  6. Křemen, J.: Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování.
  7. Křemen, J.: Modely a systémy
  8. Křemen, J.: Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování.
  9. Novák V.: Fuzzy množiny a jejich aplikace
  10. Novák V., Dvořák A.: Fuzzy logika
  11. Hájek P.: Combining Functions for Certainty Degrees in Consulting Systems
  12. Křemen, J.: Modely a systémy
  13. Křemen, J.: Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování.
  14. Kolektiv: Kapitoly k filosofii člověka. Skripta. ČVUT, fakulta strojní, Praha, 1996.
  15. Křemen, J.: Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Hájek P.: Combining Functions for Certainty Degrees in Consulting Systems. International Journal for Man-Machine Studies, 1985.
  • Křemen, J.: Notes on Vagueness of Knowledge: Fuzzy Tools. In: Acta Polytechnica, Vol. 39, No 4, CTU Prague, 1999, pp. 81– 91.
  • Křemen, J.: Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování. Slaboproudý obzor. Roč. 68 (2013), č. 1., str. 7 – 11. Nyní ke stažení na: https://web.archive.org/web/20150518082054/http://www.slaboproudyobzor.cz/files/20130102.pdf
  • Křemen, J.: Modely a systémy, ACADEMIA, Praha 2007
  • Novák V.: Fuzzy množiny a jejich aplikace. SNTL, 1990.
  • Novák V., Dvořák A.: Fuzzy logika. Ostravská univerzita, Ostrava, 2006.
  • Osgood C. E, Suci G., Tannenbaum P.: The Measurement of Meaning. Urbana, Illinois, University of Illinois Press, 1957
  • Russell B.: Vagueness. In: The Australasian Journal of Psychology and Philosophy 1, June 1923, pp. 84--92.

Související články[editovat | editovat zdroj]