Torus

Torus v trojrozměrném prostoru.

Torus (též anuloid) je v geometrii útvar, který vznikne rotací kružnice kolem osy, která leží ve stejné rovině a nemá s ní společné body.

Geometrie

Parametricky je torus vyjádřen jako:

$x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,$

$y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,$

$z(u,v)=r\sin {v}\,$

kde

u, v ∈ [0, 2π),

R je vzdálenost středu „trubice“ ke středu toru,

r je poloměr „trubice“.

Rovnice

Rovnice toru středově souměrného podle počátku a osově podle osy z v kartézských souřadnicích je (z Pythagorovy věty):

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}$,

neboli

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.$.

Torus je tedy algebraická plocha 4. stupně, neboli kvartická plocha.

Vlastnosti

Z Guldinových vět snadno dostáváme:

Povrch toru je určený jako

$S=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

Objem toru je určen vztahem

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,$

Průběh everze toru

Zobecnění

Zobecněný torus - toroid

V obecnějším případě lze torus definovat i jako elipsu či jinou kuželosečku rotovanou kolem komplanární osy.

Torus je zvláštním případem toroidu, kde místo kružnice může být obecná uzavřená křivka.

Související články

• Geometrický útvar
• Kružnice
• Toroid