Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 24. 8. 2006, 13:05

Dimenzí vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.

Vektorový prostor $V$ dimenze $n$ zapisujeme jako $V_{n}$ , popř. píšeme $\dim V=n$ . Prostor $V_{n}$ nazýváme $n$ -rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný.

Příklady

Vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ má bázi $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že $\dim \mathbb {R} ^{n}=n$ a ještě obecněji $\dim F^{n}=n$ (pro libovolné těleso $F$ ).
Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty $\mathbb {R} [n]$ má bázi $\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$ o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto alef 0.

Vlastnosti

Je-li $W$ podprostorem prostoru $V$ , pak platí $\dim W\leq \dim V$ , přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud $W=V$ . Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.

Pokud je $F$ rozšíření tělesa $K$ , je $F$ vektorový prostor nad tělesem $K$ a libovolný vektorový prostor $V$ nad tělesem $F$ je také vektorový prostor nad tělesem $K$ , přičemž platí

\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\cdot \dim _{F}(V)

Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze $n$ je současně reálným vektorovým prostorem dimenze $2n$ .

Pokud $V$ je vektorový prostor nad tělesem $F$ , platí:

Pokud je $\dim V$ konečné, pak $|V|=|F|\dim V$ ,
pokud je $\dim V$ nekonečné, pak $|V|=\max \left(|F|,\dim V\right)$ .

Podívejte se také na

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
-'''Dimenzí''' [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] <math>V</math> nazýváme počet prvků libovolné [[báze (algebra)|báze]] tohoto [[prostor]]u.
+'''Dimenzí''' [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] nazýváme počet prvků libovolné [[báze (algebra)|báze]] tohoto [[prostor]]u. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.
+Vektorový prostor <math>V</math> dimenze <math>n</math> zapisujeme jako <math>V_n</math>, popř. píšeme <math>\dim V = n</math>. Prostor <math>V_n</math> nazýváme <math>n</math>-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako ''konečněrozměrný''.
-Triviálnímu vektorovému prostoru, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.
+== Příklady ==
-Vektorový prostor <math>V</math> dimenze <math>n</math> zapisujeme jako <math>V_n</math>, popř. <math>\dim V = n</math>. Prostor <math>V_n</math> nazýváme <math>n</math>-rozměrným vektorovým prostorem.
+* Vektorový prostor <math>\mathbb{R}^3</math> má bázi <math>\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}</math> o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že <math>\dim \mathbb{R}^n = n</math> a ještě obecněji <math>\dim F^n = n</math> (pro libovolné [[těleso (algebra)|těleso]] <math>F</math>).
+* [[Komplexní číslo|Komplexní čísla]] jako vektorový prostor nad tělesem [[reálné číslo|reálných čísel]] mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
+* Vektorový prostor [[polynom]]ů s reálnými koeficienty <math>\mathbb{R}[n]</math> má bázi <math>\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}</math> o [[nekonečná množina|nekonečně mnoha prvcích]], dimenze tohoto prostoru je proto [[alef 0]].
+== Vlastnosti ==
-Je-li <math>W</math> [[podprostor|podprostorem]] prostoru <math>V</math>, pak platí <math>\dim W \leq \dim V</math>, přičemž [[rovnost]] nastává pouze tehdy, pokud <math>W = V</math>.
+Je-li <math>W</math> [[podprostor]]em prostoru <math>V</math>, pak platí <math>\dim W \leq \dim V</math>, přičemž [[rovnost]] nastává pouze tehdy, pokud <math>W = V</math>. Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou [[izomorfismus|izomorfní]].
+Pokud je <math>F</math> [[rozšíření tělesa]] <math>K</math>, je <math>F</math> vektorový prostor nad tělesem <math>K</math> a libovolný vektorový prostor <math>V</math> nad tělesem <math>F</math> je také vektorový prostor nad tělesem <math>K</math>, přičemž platí
-[[Kategorie:Matematika]]
+:<math>\dim_K(V) = \dim_K(F) \cdot \dim_F(V)</math>
+Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze <math>n</math> je současně reálným vektorovým prostorem dimenze <math>2n</math>.
+Pokud <math>V</math> je vektorový prostor nad tělesem <math>F</math>, platí:
+* Pokud je <math>\dim V</math> konečné, pak <math>|V| = |F| \dim V</math>,
+* pokud je <math>\dim V</math> nekonečné, pak <math>|V| = \max\left( |F|, \dim V \right)</math>.
+== Podívejte se také na ==
+* [[Rozměr]]
+* [[Hausdorffova dimenze]]
+* [[Topologická dimenze]]
+* [[Báze (algebra)]]
+[[Kategorie:Lineární algebra]]
 [[de:Dimension (Vektorraum)]]