Lagrangeova věta (teorie grup): Porovnání verzí
Řádek 34: | Řádek 34: | ||
== Důsledky == |
== Důsledky == |
||
Řád každého prvku <math> a\in G </math>, neboli nejnižžší číslo ''n'', pro které <math>a^n=e</math>, je |
Řád každého prvku <math> a\in G </math>, neboli nejnižžší číslo ''n'', pro které <math>a^n=e</math>, je řád cyklické grupy generované prvkem ''a'', a proto podle Lagrangeovy věty ''n'' dělí řád grupy ''G''. |
||
Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než [[Eulerova věta (teorie čísel)|věta Euler-Fermatova]]. Dá se ukázat, že množina [[Zbytek po dělení|zbytků modulo n]], které jsou s ''n'' nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je ''e'' = 1; existence inverzního prvku je důsledek [[Bézoutova rovnost|Bézoutovy rovnosti]] pro ''gcd(g,n)'' = 1; asociativita vyplývá z vlastností [[Modulární aritmetika|modulární aritmetiky]]; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s ''n'' je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo ''n''. Řád takové grupy je právě <math>\varphi (n)</math>, což je [[Eulerova funkce]]. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek ''g'' nějaký řád ''k'', který je dělitelem čísla <math>\varphi (n)</math>. Odtud plyne |
|||
<math>\varphi (n)=kd</math>, kde <math>d\in\mathbb{Z}</math> |
<math>\varphi (n)=kd</math>, kde <math>d\in\mathbb{Z}</math> |
||
Řádek 40: | Řádek 41: | ||
<math>g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^k})^d=e^d=e</math> |
<math>g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^k})^d=e^d=e</math> |
||
což je ekvivalentí zápisu |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Příbuzná tvrzení == |
== Příbuzná tvrzení == |
Verze z 4. 5. 2013, 11:24
Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.
Přesné znění
Pro grupu G a její podgrupu H platí:
- , kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy H v G.
Důkaz
Nejprve ukážeme, že levé cosety tvoří dohromady pro rozklad množiny G. Protože , nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak pro nějaké . Jinými slovy pro nějaká musí být . Vynásobením na pravé straně prvkem dostaneme . Pro jednoduchost provedeme substituci . Vzhledem k definici podgrupy , a proto
.
, neboť rovněž , a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali , a proto . Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.
Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro . Definujme f rovnicí
- Důkaz injektivity: Předpokládejme .
. Obě strany vynásobíme zleva prvkem
- Surjektivita je zřejmá z definice.
Nechť značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne .
QED.
Důsledky
Řád každého prvku , neboli nejnižžší číslo n, pro které , je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než věta Euler-Fermatova. Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě , což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla . Odtud plyne
, kde
což je ekvivalentí zápisu
.
Příbuzná tvrzení
Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.
Související články
- Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta
- Sylowovy věty