Řád prvku

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Řád prvku v grupě je takové nejmenší přirozené číslo , že (přičemž je neutrální prvek grupy ), značíme jej nebo .

Definice[editovat | editovat zdroj]

Buď dána grupa , a prvek . Je-li cyklická grupa generovaná prvkem konečná, pak řád prvku v grupě klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak (u některých autorů ).

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

  • Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
  • Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
  • Buď homomorfismus grup a prvek konečného řádu, pak . Je-li navíc injektivní, pak .
  • Z předchozího tvrzení plyne, že (kde je inverzní prvek k ), neboť zobrazení je automorfismem grupy.
  • Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • RNDR. LADISLAV BERAN, CSC.. Grupy a svazy. [s.l.] : SNTL, 1974. Kapitola 2.4. Podgrupa generovaná komplexem, s. 67-68. (česky)  
  • PROF. RNDR. JIŘÍ ROSICKÝ, DRSC.. ALGEBRA. Brno : Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1.4 Základní vlastnosti grup, s. 26. (česky)  

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]