Bézoutova rovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Bézoutova rovnost je lineární diofantická rovniceteorii čísel. Říká, že největší společný dělitel dvou přirozených čísel a a b lze zapsat jako lineární kombinaci těchto dvou čísel, jejíž koeficienty jsou celá čísla – nazývají se Bézoutovy koeficienty nebo Bézoutova čísla:

Algoritmus[editovat | editovat zdroj]

Bézoutovy koeficienty lze určit rozšířeným Eukleidovým algoritmem. Tato čísla nejsou určena jednoznačně. Pokud jsou řešením koeficienty (α, β), pak existuje nekonečně mnoho dalších koeficientů:

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Největší společný dělitel čísel 12 a 42 je 6. Bézoutova rovnost tedy je:

Jedno z možných řešení je (α, β) = (−3, 1), tedy (−3)·12 + 1·42 = 6. Jiné možné řešení je (4, −1).

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Bézoutova rovnost může být rozšířena jako lineární kombinace více než dvou čísel. Pro libovolná čísla se společným dělitelem d existují koeficienty tak, že:

Největší společný dělitel čísel je vlastně nejmenší kladné číslo, které lze zapsat jako lineární kombinaci , jejíž koeficienty jsou celá čísla.

Bézoutova rovnost také existuje v jiných algebraických strukturách než v celých číslech. Nalézt ji pro libovolné dva prvky rozšířeným Eukleidovým algoritmem lze ve všech Eukleidovských oborech a ty obory, v nichž je zaručena její existence pro libovolné dva prvky, se nazývají Bézoutovy obory.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

d je největší společný dělitel čísel a a b, p = a / d a q = b / d, pak p a q jsou nesoudělná čísla. Uvažujme nyní čísla p, 2p, …, (q−1)p. Žádné z těchto čísel není kongruentní nule modulo q a jsou také jednoznačná modulo q. To znamená, že (p, 2p, …, (q−1)p) je permutace (1, 2, …, q − 1) modulo q. Proto musí existovat číslo α, 1 ≤ αq − 1 tak, že αp ≡ 1 (mod q). To znamená, že existuje i číslo β tak, že αp + βq = 1. Po vynásobení d dostaneme Bézoutovu rovnost αa + βb = d.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]