Sylowovy věty

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty – zaručují pro prvočíselné dělitele řádu grupy existenci podgrup složených z prvků řádu a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech. Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi.

Sylowova p-podgrupa[editovat | editovat zdroj]

Sylowovou -podgrupou grupy , kde je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou , že každý prvek má řád mocniny a je maximální s touto vlastností). Množina všech Sylowových -podgrup grupy se značí .

Znění vět[editovat | editovat zdroj]

Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.

První Sylowova věta[editovat | editovat zdroj]

Nechť je konečná grupa a prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy -podgrupy jsou konjugovány (pro existuje , že ) a jejich počet je pro nějaké (tj. ).

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

  • Všechny Sylowovy -podgrupy jsou izomorfní.
  • Konečná grupa obsahuje prvek řádu pro každé prvočíslo , které dělí řád .
  • Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny .

Druhá Sylowova věta[editovat | editovat zdroj]

Nechť je konečná grupa řádu ,kde je prvočíslo, které nedělí a . Pak všechny Sylowovy -podgrupy mají řád .

Třetí Sylowova věta[editovat | editovat zdroj]

Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že dělí řád . Nechť dále je podgrupa () řádu . Pak existjuje grupa řádu splňující (tj. je normální v ).

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]