Thaletova věta: Porovnání verzí
2 verze uživatele 449Y (diskuse) zrušeny, jde o běžné skloňování, viz Thalés z Milétu, https://ssjc.ujc.cas.cz/search.php?hledej=Hledat&heslo=Thaletova&sti=EMPTY&where=full_text |
Bez shrnutí editace značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 7: | Řádek 7: | ||
''Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.'' |
''Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.'' |
||
Jiné znění: ''Všechny trojúhelníky, jejichž |
Jiné znění: ''Všechny trojúhelníky, jejichž nejdelší stranu půlí střed kružnice opsané, jsou [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlé]].'' |
||
Nebo jinak: ''Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme '''A''' a '''B''' a zvolíme libovolný bod '''C''' na kružnici. Pak platí, že trojúhelník '''ABC''' je pravoúhlý a má [[pravý úhel]] u vrcholu '''C'''''. |
Nebo jinak: ''Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme '''A''' a '''B''' a zvolíme libovolný bod '''C''' na kružnici. Pak platí, že trojúhelník '''ABC''' je pravoúhlý a má [[pravý úhel]] u vrcholu '''C'''''. |
Verze z 8. 12. 2019, 18:10
Thaletova věta je matematická věta o velikosti úhlů trojúhelníků vytvořených nad průměrem kružnice. Je pojmenována po Thalétovi z Milétu, který ji jako první dokázal.
Kružnice, která je součástí konstrukce Thaletovy věty, bývá označována jako Thaletova kružnice.
Znění
Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.
Jiné znění: Všechny trojúhelníky, jejichž nejdelší stranu půlí střed kružnice opsané, jsou pravoúhlé.
Nebo jinak: Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.
Původní znění[zdroj?]: "Středový úhel je dvojnásobek obvodového" Z toho vyplývají předešlá znění. (Při středovém úhlu 180° - přímka je obvodový úhel pravý - 90°)
Důkaz
Podívejte se na horní obrázek, kde je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky CSB a ASC jsou rovnoramenné (vždy dvě jejich ramena jsou dlouhá r), má úhel ∠BCA velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku ABC je pak:
α + β + α + β = 2 α + 2 β = 180°.
Z toho pak snadno vyjádříme, že úhel
∠BCA = α + β = 90°.
Geometrický důkaz
Trojúhelník ACB nad průměrem kružnice AB můžeme zrcadlově sklopit kolem tohoto průměru (trojúhelník ABC') a ještě jednou kolem svislé osy kruhu (trojúhelník ABD). Strany čtyřúhelníka ACBD jsou po dvou rovnoběžné a obě jeho úhlopříčky (AB a CD) jsou průměry kružnice a tedy stejně dlouhé. Čtyřúhelník ACBD je tedy pravoúhlý a pravý je i úhel ACB.
Zobecnění
Thaletova věta je zvláštní případ věty: Jestliže máme tři body A, B a C na kružnici se středem S, potom úhel ∠ASC je dvakrát tak velký než úhel ∠ABC.
Historie
Thalés z Milétu nebyl první, kdo tuto větu vyslovil. Byla známá již Egypťanům a Babyloňanům, ačkoli ti ji znali jen ze zkušenosti, nedokázali ji. To udělal až Thalés, který využil znalostí toho, že úhly při základně rovnoramenného trojúhelníku mají stejnou velikost a součet úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým úhlům.
Literatura
- Jiří Doležal: Základy geometrie, Vysoká škola báňská – Technická univerzita v Ostravě, Ostrava 2006, ISBN 80-248-1202-9, str. 13
- Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 16-17