Thaletova věta: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 22. 3. 2017, 19:24

Thaletova věta je matematická věta o velikosti úhlů trojúhelníků vytvořených nad průměrem kružnice. Je pojmenována po Thalétovi z Milétu, který ji jako první dokázal.

Kružnice, která je součástí konstrukce Thaletovy věty, bývá označována jako Thaletova kružnice.

Znění

Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.

Jiné znění: Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé.

Nebo jinak: Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.

Původní znění^[zdroj⁠?]: "Středový úhel je dvojnásobek obvodového" Z toho vyplývají předešlá znění. (Při středovém úhlu 180° - přímka je obvodový úhel pravý - 90°)

Důkaz

Podívejte se na horní obrázek, kde je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky CSB a ASC jsou rovnoramenné (vždy dvě jejich ramena jsou dlouhá r), má úhel ∠BCA velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku ABC je pak

α + β + α + β = 2 α + 2 β = 180°.

Z toho pak snadno vyjádříme, že úhel

∠BCA = α + β = 90°.

Geometrický důkaz

Trojúhelník ACB nad průměrem kružnice AB můžeme zrcadlově sklopit kolem tohoto průměru (trojúhelník ABC') a ještě jednou kolem svislé osy kruhu (trojúhelník ABD). Strany čtyřúhelníka ACBD jsou po dvou rovnoběžné a obě jeho úhlopříčky (AB a CD) jsou průměry kružnice a tedy stejně dlouhé. Čtyřúhelník ACBD je tedy pravoúhlý a pravý je i úhel ACB.

Zobecnění

Thaletova věta je zvláštní případ věty: Jestliže máme tři body A, B a C na kružnici se středem S, potom úhel ∠ASC je dvakrát tak velký než úhel ∠ABC.

Historie

Thalés z Milétu nebyl první, kdo tuto větu vyslovil. Byla známá již Egypťanům a Babyloňanům, ačkoli ti ji znali jen ze zkušenosti, nedokázali ji. To udělal až Thalés, který využil znalostí toho, že úhly při základně rovnoramenného trojúhelníku mají stejnou velikost a součet úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým úhlům.

Literatura

Jiří Doležal: Základy geometrie, Vysoká škola báňská – Technická univerzita v Ostravě, Ostrava 2006, ISBN 80-248-1202-9, str. 13
Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 16-17

Související články

Tečna kružnice

@@ Řádek 14: / Řádek 14: @@
 == Důkaz ==
-Podívejte se na obrázek, na kterém je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky '''CSB''' a '''ASC''' jsou rovnoramenné (vždy dvě jejich ramena jsou dlouhá ''r''), tak úhel '''∠BCA''' má velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku '''ABC''' je pak
+Podívejte se na horní obrázek, kde je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky '''CSB''' a '''ASC''' jsou rovnoramenné (vždy dvě jejich ramena jsou dlouhá ''r''), má úhel '''∠BCA''' velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku '''ABC''' je pak
 ''α'' + ''β'' + ''α'' + ''β'' = 2 ''α'' + 2 ''β'' = 180°.
@@ Řádek 21: / Řádek 21: @@
 '''∠BCA''' = ''α'' + ''β'' = 90°.
+=== Geometrický důkaz ===
+[[Soubor:Thales theorem by refelection1.svg |thumb|upright=1.0| Čtyřúhelník ACBD je pravoúhlý rovnoběžník a úhlopříčky AB i CD jsou stejně dlouhé, takže je to rovnoběžník pravoúhlý ]]
+Trojúhelník '''ACB''' nad průměrem kružnice '''AB''' můžeme zrcadlově sklopit kolem tohoto průměru (trojúhelník '''ABC'''') a ještě jednou kolem svislé osy kruhu (trojúhelník '''ABD'''). Strany čtyřúhelníka '''ACBD''' jsou po dvou rovnoběžné a obě jeho úhlopříčky ('''AB''' a '''CD''') jsou průměry kružnice a tedy stejně dlouhé. Čtyřúhelník '''ACBD''' je tedy pravoúhlý a pravý je i úhel '''ACB'''.
 == Zobecnění ==