Reflexivní prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Banachův prostor se nazývá reflexivní jestliže splňuje jistou abstraktní vlastnost spjatou s duálními prostory. Reflexivní prostory mají příznivé geometrické vlastnosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Buď X* duální prostor k normovanému vektorovému prostoru X nad reálnými nebo komplexními čísly a X** duální prostor k Banachovu prostoru X*. Definujeme kanonické vnoření κ : XX** jako

κ(x)(f) = f(x)     pro každé xX, fX*.

Tedy κ zobrazuje x na jistý evaluační funkcionál na prostoru X*. Důsledkem Hahn-Banachovy věty je, že κ zachovává normu (tj. ||κ(x)|| = ||x|| ) a je proto prosté. Prostor X se nazývá reflexivní jestliže κ je bijekce.

Poznámka: Podle definice je tedy reflexivní prostor X isomorfní s Banachovým prostorem X**. Každý reflexivní prostor je proto Banachův prostor.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Všechny Hilbertovy prostory jsou reflexivní a také všechny Lp prostory pro 1 < p < ∞. Naopak prostory L1 a L nejsou reflexivní.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každý uzavřený podprostor reflexivního prostoru je reflexivní.

Banachův prostor je reflexivní právě tehdy, když jeho duál je reflexivní.

Prostor je reflexivní právě tehdy, když uzavřená jednotková koule je kompaktní ve slabé topologii.

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Reflexivní prostor je separabilní právě tehdy, když jeho duál je separabilní.

V reflexivním prostoru lze z každé omezené posloupnosti vybrat slabě konvergentní podposloupnost (důsledek Banach-Alaogluovy věty).

Související články[editovat | editovat zdroj]