Pythagorova věta o energii

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Vztah si lze snadno zapamatovat jako Pythagorovu větu pro trojúhelník o stranách E,E_0 a pc.

Ve fyzice je Pythagorova věta o energii vztah mezi energií a hybností částice, který vyplývá ze speciální teorie relativity:

E^2 = E_0^2 + \left(pc\right)^2\,.

E značí celkovou energii částice, E_0 je její klidová energie, p je velikost hybnosti a c je rychlost světla ve vakuu. Klidová energie je přímo úměrná hmotnosti částice m podle vztahu E_0=mc^2.[pozn 1]

Částice s nulovou hmotností[editovat | editovat zdroj]

Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li m=0 do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší:

E = pc \,.

Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti:

\mathbf{p} = {E\over c^2}\mathbf{v} \,,[pozn 2]

kde \mathbf{p} a \mathbf{v} jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii E=pc, zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna c. Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí c.

Částice s nenulovou hmotností[editovat | editovat zdroj]

Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti:

p = v {E\over c^2} = {v\over c^2}\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}\,.

Je-li rychlost v menší než c, můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost:

p = \gamma mv\,,

kde \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2} je Lorentzův faktor. Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než c, i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.

Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii:

E^2 = m^2c^4 + \left(v{E\over c^2}\right)^2c^2 \,,

můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice:

E = \gamma m c^2 \,.

Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než c, i když jí dodáme libovolnou energii.

Kinetická energie[editovat | editovat zdroj]

Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu:

E_k = E - E_0 = \sqrt{E_0^2 + \left(pc\right)^2} - E_0 \,.

Nemá-li částice klidovou hmotnost (E_0=0), je E_k=E. V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.

Pro částice s E_0\not=0 je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna:

E_k = E - E_0 = \gamma m c^2 - mc^2 = mc^2 \left(\gamma - 1\right) \,.

Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah E_k = {1\over2}mv^2, což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží c a nikdy tuto hranici nepřekročí.

Čtyřhybnost[editovat | editovat zdroj]

Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. V tomto článku proměnná m označuje klidovou hmotnost částice, která nezávisí na volbě vztažné soustavy (na rychlosti částice vůči pozorovateli). V moderních publikacích o fyzice se již nepoužívá koncept tzv. relativistické hmotnosti, která na rychlosti závisí.
  2. Výraz E/c^2 je relativistická hmotnost zmíněná v předchozí poznámce. Zde ji jako hmotnost neoznačujeme, protože nemá přímý fyzikální význam a nepřináší nic nového oproti veličině E.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]