Pravá anomálie

Pravá anomálie bodu P je úhel f. C je střed elipsy, F je ohnisko.

Pravá anomálie je v nebeské mechanice úhlový parametr určující pozici tělesa, které se pohybuje po keplerovské dráze. Je to úhel mezi směrem periapsidy a okamžitou pozicí tělesa, měřený z hlavního ohniska elipsy (tj. bodu, okolo kterého těleso obíhá).

Pravá anomálie se obvykle značí řeckým písmenem ν (ný), θ (theta) nebo latinským písmenem f, a obvykle se uvádí v intervalu 0–360° (0–2π rad).

Pravá anomálie f je jedním ze tří úhlových parametrů (anomálií), kterými lze definovat pozici tělesa na oběžné dráze; dalšími je excentrická anomálie E a střední anomálie M.

Vzorce

Ze stavových vektorů

Pro eliptické oběžné dráhy lze pravou anomálii ν vypočítat z orbitálního stavového vektoru pomocí vzorce:

$\nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}$

(je-li r ⋅ v < 0, použijeme 2π − ν místo ν)

kde:

• v je vektor rychlosti obíhajícího tělesa,
• e je vektor výstřednosti,
• r je polohový vektor (úsečka FP na obrázku) obíhajícího tělesa.

Kruhová oběžná dráha

Pro kruhové oběžné dráhy není pravá anomálie definovaná, protože u kruhové dráhy nelze určit periapsidu. Místo pravé anomálie se používá argument šířky u:

$u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}$

(je-li r_z < 0, použijeme 2π − u místo u)

kde:

• n je vektor ukazující směrem k vzestupnému uzlu (jeho z-ová složka je nulová).
• r_z je z-ová složka polohového vektoru r

Kruhová oběžná dráha s nulovým sklonem

Pokud má kruhová oběžná dráha nulový sklon, není definován ani argument šířky, protože nelze určit ani polohu uzlů dráhy. Místo toho používáme pravou délku:

$l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}$

(pro v_x > 0 je třeba místo l použít 2π − l)

kde:

• r_x je x-ová složka polohového vektoru r
• v_x je x-ová složka vektoru rychlosti v.

Z excentrické anomálie

Vztah mezi pravou anomálií ν a excentrickou anomálií $E$ je:

$\cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}$

nebo pomocí sinu a tečny:

${\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\operatorname {tg} {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}$

nebo ekvivalentně:

$\operatorname {tg} {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\operatorname {tg} {E \over 2}$

tedy

$\nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\operatorname {tg} {E \over 2}\,\right)$

Broucke a Cefola uvádějí alternativní tvar této rovnice, který se vyhýbá numerickým problémům pro argumenty blízko $\pm \pi$, kdy obě tangenty rostou nade všechny meze. Díky tomu, že ${\frac {E}{2}}$ a ${\frac {\nu }{2}}$ jsou vždy ve stejném kvadrantu, nebudou žádné problémy se znaménky.

$\operatorname {tg} {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}$ kde $\beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

tedy

$\nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)$

Ze střední anomálie

Pravou anomálii lze spočítat přímo ze střední anomálie $M$ Fourierovým rozvojem:

$\nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}$

kde $J_{n}$ jsou Besselovy funkce a parametr $\beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}$.

Zanedbáním všech členů od řádu $e^{4}$ (což je indikováno členem $\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)$), lze zapsat jako

$\nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).$

Tato aproximace se kvůli přesnosti obvykle používá pouze pro oběžné dráhy s malou výstředností $e$.

Výraz $\nu -M$ je znám jako rovnice středu, které je věnován samostatný článek s více detaily.

Poloměr z pravé anomálie

Poloměr (vzdálenost mezi ohniskem přitažlivosti a obíhajícím tělesem) je spojený s pravou anomálií vztahem

$r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!$

kde a je velká poloosa oběžné dráhy.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku True anomaly na anglické Wikipedii.

Literatura

• MURRAY, C. D.; DERMOTT, S. F. Solar System Dynamics. Cambridge.: Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-57597-4. 
• PLUMMER, H. C., 1960. An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy. New York: Dover Publications. OCLC 1311887 Přetisk vydání z roku 1918 vydavatelství Cambridge University Press. 

Související články

• Keplerovy zákony
• Excentrická anomálie
• Střední anomálie
• Elipsa
• Hyperbola

Externí odkazy

• Federal Aviation Administration - Describing Orbits