Prüferův obor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Prüferův obor je pojem z matematiky, konkrétněji z teorie okruhů. Jedná se o obory, které sdílejí vlastnosti s Dedekindovými obory, přestože nemusí být noetherovské. Tvrzení o ideálech a modulech známá v případě Dedekindových oborů pro ně ovšem platí jen v případě konečně generovaných modulů. Prüferovy okruhy nesou své jméno po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Prüferův okruh je takový komutativní okruh bez dělitelů nuly, v kterém je každý konečně generovaný ideál invertibilní vzhledem k násobení ideálů.

Existuje ovšem velké množství ekvivalentních definic. Například kterákoliv z následujících vlastností je v případě oboru integrity ekvivalentní tomu, že se jedná o Prüferův obor:

  • Každý nenulový konečně generovaný ideál oboru je invertibilní, to jest , kde a je podílové těleso.
  • Každý nenulový ideál generovaný dvěma prvky je invertibilní.
  • Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály z platí .
  • Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály z platí .
  • Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály z platí .
  • Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály z platí, že pokud , pak nebo .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Pokud je Prüferův obor a je jeho podílové těleso, pak je Prüferův i každý okruh splňující .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prüfer domain na anglické Wikipedii.