Podílové pravidlo

Podílové pravidlo v diferenciálním počtu je vzorec používaný pro derivaci podílu dvou funkcí. Může být zapsáno takto:

Jestliže derivujeme funkci $f(x)$, která je podílem dvou funkcí:

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

a $h(x)\not =0$, pak derivace $g(x)/h(x)$ je

$f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.$

Důkaz

Důkaz pomocí implicitní derivace:

Z $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$ plyne $g(x)=f(x)h(x){\mbox{ }}\,$

Podle součinového pravidla $g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{ }}\,$

odtud dostaneme $f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)\cdot {\frac {h(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}$

tedy $f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}$

Důkaz pomocí řetízkového pravidla:

Vztah $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$ přepíšeme použitím záporného mocnitele:

$f(x)=g(x)\cdot h(x)^{-1}$

Obě strany zderivujeme a na pravou stranu použijeme součinové pravidlo: $f'(x)=g'(x)\cdot h(x)^{-1}+g(x)\cdot (h(x)^{-1})'$

Pro výpočet derivace druhého členu použijeme řetízkové pravidlo, přičemž vnější funkce je $x^{-1}$ a vnitřní $h(x)$.

$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)^{-1}+g(x)\cdot (-1)h(x)^{-2}h'(x)$

Převedeme na společného dělitele: $f'(x)={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

$f'(x)={\frac {g'(x)\cdot h(x)-h'(x)\cdot g(x)}{[h(x)]^{2}}}$

Vzorce pro derivace vyšších řádů

Pro výpočet derivací vyšších řádů je mnohem snazší použít řetízkové pravidlo než implicitní derivaci. Výsledkem dvou implicitních derivací funkce $fh=g$ je $f''h+2f'h'+fh''=g''$ a řešením pro $f''$ je

$f''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}.$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quotient rule na anglické Wikipedii.

Portály: Matematika