Pevný bod

Jako pevný bod (také samodružný bod) označujeme prvek, který se v daném zobrazení zobrazí sám na sebe.

Například pevnými body funkce $f(x)=x^{2}-4x+6$ jsou čísla 2 a 3 (platí totiž, že $2=2^{2}-4\cdot 2+6$ a $3=3^{2}-4\cdot 3+6$).

Definice

Nechť $f:M\to M$ je zobrazení. Prvek $x\in M$ nazveme pevným bodem zobrazení $f$, pokud $f(x)=x$.

Geometrická interpretace

Graf funkce se třemi pevnými body

Pro funkci $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ je pevný bod průnikem grafu této funkce s grafem funkce $y=x$, tzn. osou symetrie (diagonálou) prvního resp. třetího kvadrantu.

Teorie kategorií

V teorii kategorií je pevným bodem endofunktoru $F$ nad ${\mathcal {C}}$ objekt $A$ takový, že platí $A\cong FA$. Podle Lambekovy věty je počáteční objekt v kategorii $F$-algeber pevným bodem, platí tedy $\mu F\cong F\mu F$. Tohoto faktu se využívá ve funkcionálním programování k definici rekurzivních datových struktur bez syntaktické podpory.

Související články

• Věta o pevném bodě
• Banachova věta o pevném bodě
• Brouwerova věta o pevném bodu

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pevný bod na Wikimedia Commons

Autoritní data	PSH: 7398 BNF: cb12266972t (data) LCCN: sh85048934 NLI: 987007535928705171

Portály: Matematika