Lieova závorka
Lieova závorka je operátor, který přiřazuje kterýmkoliv dvěma vektorovým polím X a Y na hladké varietě M, třetí vektorové pole označované [X, Y]. Lieova závorka vystihuje nekomutativitu toků generovanými těmito poli.
Lieova závorka [X, Y] je derivace vektorového pole Y podél toku vytvořeného polem X. Zobecněním Lieovy závorky je derivace, která umožňuje diferenciaci jakéhokoli tenzorového pole podél toku vytvořeného X. Lieova závorka [X, Y] se rovná Lieově derivaci vektoru Y (která je tenzorovým polem) podél X, a je označována:
- čteme: Lieova derivace Y podél X.
![{\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{X}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1a34378ba71de83e44531d10001abbdf93161e)
Každé vektorové pole X na hladké varietě M může být považováno za diferenciální operátor působící na hladké funkce na M. Ve skutečnosti, každé hladké vektorové pole X se stává derivací hladkých funkcí C∞(M) pokud definujeme X(f) jako element C∞(M)
Lieova závorka [X, Y] dvou hladkých vektorových polí X a Y je hladké vektorové pole [X, Y], takové že platí:
=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ pro každou }}f\in C^{\infty }(M).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9017c7954b356f774b9ba2e82524fd24156113)
Vlastnosti Lieovy závorky
[editovat | editovat zdroj]- To je antisymetrie
- To je Jacobiho identita.
- pro každé To je linearita
![{\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83000adb60191d8bf98aa44197297ce92213c45)
![{\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029c707bdbfe1f93e908a3b9c7e25af5fd0eca82)
![{\displaystyle [rX+Y,Z]=r[X,Z]+[Y,Z],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e698009ba0929921d7238d73de915d5002852e42)
![{\displaystyle [X,fY]=f[X,Y]+X[f]Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc559ec3595f51ed5ab438cff2ab5fe44a859828)
