Laplaceův-Rungeův-Lenzův vektor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Laplaceův-Rungeův-Lenzův vektor někdy též LRL vektor, je vektor popisující tvar a směr orbity jednoho tělesa kolem jiného. Je konstantním vektorem v případě pohybu v Newtonově potenciálu. Máme-li systém popsaný hamiltoniánem

,

pak je LRL vektor definován jako:

LRL vektor společně s energií a momentem hybnosti představuje integrál pohybu pro pohyb v Newtonově potenciálu.

Velikosti všech těchto integrálů pohybu jednoznačně určují trajektorii. Protože je vždy kolmý na , jsou velikosti těchto integrálů určeny 6 nezávislými čísly. Trajektorii stejně tak určuje poloha a hybnost v určitém čase, což je taktéž 6 nezávislých hodnot.

Důkaz toho, že LRL vektor je integrálem pohybu[editovat | editovat zdroj]

Vypočtěme

Ovšem odpovídá síle, tedy

Vektor se nemění s časem, proto je integrálem pohybu.


Rozptyl na Newtonově potenciálu[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme částici, která přilátá z nekonečna tak, že by bez přítomnosti pole minula rozptylové centrum ve vzdálenosti (impaktní parametr). Jeli pole přítomno, je částice odchýlena. Víme přitom, že velikost a směr LRL vektoru zůstává konstantní, tedy

Kde levá strana je velikost vektoru daleko před tím, než došlo k interakci, zatímco pravá naopak daleko po ní. Označíme-li

,

pak vzhledem k tomu že daleko od místa interakce letí částice v podstatě ve směru jejího polohového vektoru, lze psát:

Kde je velikost hybnosti v nekonečnu. Nebo po úpravě

Tuto vektorovou rovnici umocníme (vektory a jsou kolmé na ):

Kde je úhel mezi vektorama a , Nás ovšem spíše zajímá vychýlení částice, tedy úhel . Dostáváme pak:

Po úpravě:


Což po dosazení za velikost momentu hybnosti dává vztah

Známe tedy závislost odchýlení částice na impaktním parametru . Nyní již snadno vypočítáme diferenciální účinný průřez:

Přitom dle odvozeného vztahu pro odchýlení částice platí

Po dosazení získáváme Rutherfordovu formuli pro rozptyl.

Odvození trajektorie pohybu v Newtonově potenciálu[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme, že při tomto pohybu je v určitém místě hybnost kolmá na průvodič. V tomto bodě má pak průvodič částice stejný směr jako LRL vektor. Protože je LRL vektor konstantní v čase, je zřejmé, že má vždy tento směr.

Dále promítněme LRL vektor do směru průvodiče, tedy:

Označme dále úhlovou odchylku průvodiče od směru LRL vektoru jako , potom platí také:

Porovnáním těchto dvou výrazů dostaneme

.

Což je samozřejmě rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Velikost LRL vektoru je tedy úměrná numerické excentricitě, speciálně, pokud je , pak je pohyb kruhový.