Konkrétní problémy: pro běžného čtenáře málo srozumitelný výklad, neency styl (1.osoba) a mnoho obtížně ověřitelných vzorců (zdroj?) s nijak nepopsanými veličinami
Laplaceův-Rungeův-Lenzův vektor, někdy též LRL vektor, je vektor popisující tvar a směr orbity jednoho tělesa kolem jiného. Je konstantním vektorem v případě pohybu v Newtonově potenciálu. Máme-li systém popsaný hamiltoniánem
,
pak je LRL vektor definován jako:
LRL vektor společně s energií a momentem hybnosti představuje integrál pohybu pro pohyb v Newtonově potenciálu.
Velikosti všech těchto integrálů pohybu jednoznačně určují trajektorii. Protože je vždy kolmý na , jsou velikosti těchto integrálů určeny 6 nezávislými čísly. Trajektorii stejně tak určuje poloha a hybnost v určitém čase, což je taktéž 6 nezávislých hodnot.
Vypočtěme
Ovšem odpovídá síle, tedy
Vektor se nemění s časem, proto je integrálem pohybu.
Uvažujme částici, která přilétá z nekonečna tak, že by bez přítomnosti pole minula rozptylové centrum ve vzdálenosti (impaktní parametr). Jeli pole přítomno, je částice odchýlena. Víme přitom, že velikost a směr LRL vektoru zůstává konstantní, tedy
Kde levá strana je velikost vektoru daleko před tím, než došlo k interakci, zatímco pravá naopak daleko po ní. Označíme-li
,
pak vzhledem k tomu že daleko od místa interakce letí částice v podstatě ve směru jejího polohového vektoru, lze psát:
Kde je velikost hybnosti v nekonečnu. Nebo po úpravě
Tuto vektorovou rovnici umocníme (vektory a jsou kolmé na ):
Kde je úhel mezi vektorama a , Nás ovšem spíše zajímá vychýlení částice, tedy úhel . Dostáváme pak:
Po úpravě:
Což po dosazení za velikost momentu hybnosti dává vztah
Známe tedy závislost odchýlení částice na impaktním parametru . Nyní již snadno vypočítáme diferenciální účinný průřez:
Přitom dle odvozeného vztahu pro odchýlení částice platí
Po dosazení získáváme Rutherfordovu formuli pro rozptyl.
Uvažujme, že při tomto pohybu je v určitém místě hybnost kolmá na průvodič. V tomto bodě má pak průvodič částice stejný směr jako LRL vektor. Protože je LRL vektor konstantní v čase, je zřejmé, že má vždy tento směr.
Dále promítněme LRL vektor do směru průvodiče, tedy:
Označme dále úhlovou odchylku průvodiče od směru LRL vektoru jako , potom platí také:
Porovnáním těchto dvou výrazů dostaneme
.
Což je samozřejmě rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Velikost LRL vektoru je tedy úměrná numerické excentricitě, speciálně, pokud je , pak je pohyb kruhový.