Kvaternionová grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf cyklů kvaternionové grupy . Každá barva specifikuje sérii mocnin nějakého prvku. Například červená znázorňuje cyklus i 2 = −1, i 3 = −i  a i 4 = 1.

Kvaternionová grupa je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu .

Grupa má prezentaci

kde 1 je neutrální prvek grupy a -1 komutuje se všemi dalšími prvky.

Násobení prvků podmnožiny se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru:

Maticová reprezentace[editovat | editovat zdroj]

Kvaternionovou grupu lze reprezentovat komplexními maticemi zobrazením

a jsou reprezentovány maticemi s opačnými znaménky všech koeficientů. Součiny těchto matic splňují výše uvedené grupové rovnosti. Všechny tyto matice jsou unitární, jedná se tedy o unitární reprezentaci grupy na dvourozměrném komplexním prostoru.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]