Kvaternionová grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf cyklů kvaternionové grupy Q_8. Každá barva specifikuje sérii mocnin nějakého prvku. Například červená znázorňuje cyklus i 2 = −1, i 3 = −i  a i 4 = 1.

Kvaternionová grupa Q_8 je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) D_4 jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}.

Grupa má prezentaci

Q_8 = \langle -1,i,j,k \mid (-1)^2 = 1, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \rangle, \,\!

kde 1 je neutrální prvek grupy a -1 komutuje se všemi dalšími prvky.

Násobení prvků podmnožiny \{\pm i, \pm j, \pm k\} se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru:

\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j. 
\end{alignat}

Maticová reprezentace[editovat | editovat zdroj]

Kvaternionovou grupu lze reprezentovat komplexními maticemi 2\times 2 zobrazením

1 \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix}
i \mapsto \begin{pmatrix}
  i & 0 \\
  0 & -i
\end{pmatrix}
j \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 & 0
\end{pmatrix}
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0         & i \\
  i & 0
\end{pmatrix}

a -1,-i,-j,-k jsou reprezentovány maticemi s opačnými znaménky všech koeficientů. Součiny těchto matic splňují výše uvedené grupové rovnosti. Všechny tyto matice jsou unitární, jedná se tedy o unitární reprezentaci grupy Q_8 na dvourozměrném komplexním prostoru.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]