Kochaňského konstrukce

Model původního obrázku Kochańského z Acta Eruditorum ilustrující jeho přibližnou rektifikaci kružnice

Kochańského konstrukce je přibližná metoda rektifikace kružnice neboli konstrukce úsečky o délce rovné polovině obvodu daného kruhu navržená v roce 1685 polským matematikem Adamem Adamandym Kochańským. Umožňuje sestrojení úsečky, která je přibližně $\pi$-krát delší než daná úsečka. Jejím využitím lze také provést přibližnou kvadraturu kruhu.

Popis konstrukce

Je dána kružnice se středem v bodě $P_{1}$ a poloměrem $r.$

• Sestrojíme průměr kružnice ${\overline {P_{2}P_{3}}}.$
• Sestrojíme tečnu ke kružnici v bodě $P_{2}.$
• Sestrojíme kružnici (nebo kruhový oblouk) se středem v bodě $P_{2}$ a poloměrem $r.$ Jeden z průsečíků s původní kružnicí označíme $P_{4}.$
• Sestrojíme kružnici (kruhový oblouk) se středem v bodě $P_{4}$ a poloměrem $r.$ Jeden z průsečíků kruhových oblouků je $P_{1}$, druhý označíme $P_{5}.$ Body $P_{1}$ a $P_{5}$ tvoří osu úsečky ${\overline {P_{2}P_{4}}}.$
• Průsečík ${\overline {P_{1}P_{5}}}$ s tečnou ke kružnici vedenou bodem $P_{2}$ označíme $P_{6}.$
• Na polopřímku ${\overline {P_{6}P_{2}}}$ naneseme od bodu $P_{6}$ 3krát vzdálenost $r$, čímž získáme postupně body $P_{7},$ $P_{8},$ $P_{9}.$
• Úsečka ${\overline {P_{3}P_{9}}}$ má délku přibližně rovnou $\pi r$

$|P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3{,}141\,533\,338\,7\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.$

Stojí za zmínku, že úsečka ${\overline {P_{1}P_{5}}}$ je výškou rovnostranného trojúhelníka ${P_{1}}{P_{4}}{P_{2}},$ což znamená, že svírá úhel 30° s úsečkou ${\overline {P_{2}P_{3}}}$.

Odhad relativní chyby

$\left|\pi -{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\right|\approx 0{,}000\,059\,314\,884\,7.$

Proto se chyba objeví až na pátém místě za desetinnou čárkou. Takové přiblížení v praktických případech obvykle postačuje.

Kvadratura kruhu založená na Kochańského konstrukci

Na základě Kochańského konstrukce je možná také přibližná kvadratura kruhu. Ilustruje ji následující obrázek.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Konstrukcja Kochańskiego na polské Wikipedii.

Související články

• Rektifikace kružnice
• Kvadratura kruhu
• Kvadratura (matematika)