Rektifikace kružnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Rektifikace kružnice je jeden ze známých matematických problémů starověku (společně s kvadraturou kruhu, trisekcí úhlu a zdvojením krychle). Je to úloha matematicky ekvivalentní ke kvadratuře kruhu. Úkolem je sestrojit ke kružnici úsečku o stejné délce (tedy obvod kruhu se bude rovnat délce úsečky) pomocí tzv. eukleidovské konstrukce tzn. pouze pravítkem a kružítkem.

K úplnému důkazu o nemožnosti řešení těchto matematických problémů se dospělo až v 18. a 19. století zásluhou francouzských a německých matematiků (Pierre Laurenta Wantzela, Johanna Heinricha Lamberta a Ferdinanda Lindemanna[1]).

Ekvivalence s kvadraturou kruhu[editovat | editovat zdroj]

Problém rektifikace kružnice je problém totožný ke kvadratuře kruhu (narýsování čtverce ke kruhu se stejným obsahem pomocí eukleidovské konstrukce), ačkoliv se tak k němu napříč historií nepřistupovalo.

Důvod, proč se jedná o ekvivalentní úlohu, je zřejmý:

Mějme kružnici o poloměru r. Taková kružnice má potom obvod a obsah:

Dosadíme-li z prvního vztahu do druhého, získáme rovnici:

Ze kterého vyplývá, že obsah kruhu je stejný, jako obsah trojúhelníku o straně O a výšce r. K takovému trojúhelníku jsme schopní ale narýsovat obdélník, potažmo čtverec o stejném obsahu – pomocí rektifikace kružnice se nám podařilo získat čtverec o stejném obsahu jako daná kružnice.

Konkrétní postupy[editovat | editovat zdroj]

Přibližné postupy pro rektifikaci kružnice a v její části se v matematice (především v technickém kreslení) často používají. Vzdálenosti jsou ovšem samozřejmě zkreslené, v konkrétních případech ale mohou být tyto metody poměrně přesné. Pro oba dva následující příklady platí, že zobrazená délka je vždy kratší než skutečná délka kružnice, resp. oblouku.

Kochaňského rektifikace[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Kochaňského konstrukce.

Tato rektifikace, pojmenovaná podle polského matematika Adama Adamandy Kochańského, je konstrukce, kterou používáme pro narýsování úsečky o délce půlkružnice, popř. celé kružnice.

Kochaňského rektifikace. Červeně je vyznačena přenesená délka tučného oblouku. Délka je touto metodou samozřejmě zkreslená – je menší, než skutečná délka

Sobotkova rektifikace[editovat | editovat zdroj]

Sobotkovu rektifikaci, používáme pro rektifikaci kruhových oblouků, pro jejichž středový úhel platí, že .

Sobotkova rektifikace. Červeně je vyznačena přenesená délka tučného oblouku. Tato metoda se používá pro oblouky s menším středovým úhlem. Délka je touto metodou samozřejmě zkreslená – je menší, než skutečná délka

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. REICHL, Jaroslav a Martin VŠETIČKA. Neřešitelné matematické úlohy. In: Encyklopedie fyziky [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/print/1438-neresitelne-matematicke-ulohy

Související články[editovat | editovat zdroj]