Imaginární jednotka

Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené $\mathrm {i}$ (někdy též $\mathrm {j}$ nebo 𝕚), které rozšiřuje obor reálných čísel ℝ na obor čísel komplexních ℂ. Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek $\mathrm {i}$ , který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechniky je často imaginární jednotka označována jako $\mathrm {j}$ místo $\mathrm {i}$ , protože $\mathrm {i}$ se běžně používá pro označení okamžité hodnoty elektrického proudu.

Definice

Podle definice imaginární jednotka $\mathrm {i}$ je řešením rovnice

x² = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s $\mathrm {i}$ jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty $\mathrm {i} ^{2}$ číslem −1.

i a −i

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je $\mathrm {i}$ , je také řešením této rovnice $-\mathrm {i}$ $(\neq \mathrm {i} )$ . Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí $\mathrm {i}$ , je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní $\mathrm {i}$ “.

Značení odmocninou

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako $i={\sqrt {-1}}$ . Toto značení není zcela formálně korektní, protože komplexní čísla nemají na rozdíl od reálných úplné uspořádání, a tudíž nelze takovou odmocninu definovat jednoznačně. Nicméně i přesto se používá, protože intuitivně odpovídá postupu řešení kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami: Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek:

-1=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} ={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1

Kalkulační pravidlo

{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}

je v oboru reálných čísel platné, pokud a ≥ 0 nebo b ≥ 0. Nemůžeme ho tedy použít, pokud jsou obě čísla záporná. Můžeme ho však použít pro výpočet odmocniny ze záporného čísla, např. druhou odmocninu z čísla -4 vypočteme jako: